Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.5 trên 6 phiếu

Giải bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình

Đề bài

Giải các bất phương trình

a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)

b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)

c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)

d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Đặt nhân tử chung \(2^{2x-3}\), đưa bất phương trình mũ về dạng cơ bản: 

\({a^x} \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x \ge {\log _a}b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x \le {\log _a}b\end{array} \right.\end{array} \right.\)

b) Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {0,4} \right)^x}\), để ý rằng: \(0,4.2,5 = 1 \Rightarrow {\left( {0,4} \right)^x}.{\left( {2,5} \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2,5} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {0,4} \right)}^x}}}\)

c) Giải bất phương trình logarit cơ bản:

\({\log _a}f\left( x \right) < b \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f\left( x \right) < {a^b}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f\left( x \right) > {a^b}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

d) Đặt ẩn phụ \(t = {\log _{0,2}}x\).

Lời giải chi tiết

\(\displaystyle \begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}{.2^2} + {2^{2x - 3}}{.2^1} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}\left( {4 + 2 + 1} \right) \ge 448\\\Leftrightarrow {7.2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}} \ge 64\\\Leftrightarrow 2x - 3 \ge {\log _2}64 = 6\\\Leftrightarrow x \ge \dfrac{9}{2}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\displaystyle S=[{{9}\over {2}}; +∞)\).

\(\displaystyle \begin{array}{l}b)\,\,{\left( {0,4} \right)^x} - {\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > 1,5\\\Leftrightarrow {\left( {0,4} \right)^x} - 2,5.{\left( {2,5} \right)^x} > 1,5\\\Leftrightarrow {\left( {0,4} \right)^x} - 2,5.\dfrac{1}{{{{\left( {0,4} \right)}^x}}} > 1,5\end{array}\)

Đặt \(\displaystyle t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành:

\(\displaystyle \eqalign{
& t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Do \(\displaystyle t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với:

\(\displaystyle {\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

c) ĐK: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 < {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} = 1\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x \in \left( { - \sqrt 2 ;-1} \right) \cup \left( {1;\sqrt 2 } \right)\)

Ta có:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _3}\left[ {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right)} \right] < 1\\\Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {3^1} = 3\,\,\left( {Do\,3 > 1} \right)\\\Leftrightarrow {x^2} - 1 > {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{1}{8}\,\,\left( {Do\,\,0 < \,\dfrac{1}{2} < 1} \right)\\\Leftrightarrow {x^2} > \dfrac{9}{8}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}\\x < - \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(\displaystyle x \in \left( { - \sqrt 2 ; - \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\displaystyle S = \left( { - \sqrt 2 ; - \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\).

d) \(\displaystyle {\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6\)

ĐK: \(\displaystyle x>0\).

Đặt \(\displaystyle t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành

\(\displaystyle {t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\)

Suy ra: \(\displaystyle 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2}\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}}(tm \,\, x>0) \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle S=\left({1 \over {125}},{1 \over {25}}\right)\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.