Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12


Giải bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12. Tìm a và b để các cực trị của hàm số:

Đề bài

Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số

\(y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\)

đều là những số dương và \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Hàm số đã cho đạt cực đại tại \({x_0} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( x_0 \right) = 0\\y''\left( x_0 \right) < 0\end{array} \right.\), từ đó tìm \(a\).

- Thay \(a\) vừa tìm được ở trên vào hàm số.

Tìm \(b\) dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \( \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\), \(y'' = 10{a^2}x + 4a\).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại \({x_0} =  - \dfrac{5}{9}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a =  - \dfrac{9}{5}\\a < 0,a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a =  - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\)

Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\) có \(\Delta ' = 49{a^2} > 0\) với \(a \ne 0\) nên phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt\({x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} =  - \dfrac{9}{{5a}}\).

Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \( \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\).

Với \(a = \dfrac{{81}}{{25}}\) thì \({x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} =  - \dfrac{5}{9}\).

Do đó \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2} \)\(- 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0\)

\( \Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}\)

Với \(a =  - \dfrac{9}{5}\) thì \({x_1} =  - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1\).

Do đó \({y_{CT}} = y\left( 1 \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( { - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{.1^3} + 2.\left( { - \dfrac{9}{5}} \right){.1^2} \)\(- 9.1 + b > 0\)

\( \Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}\).

Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 31 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Cực trị của hàm số

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài