Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.3 trên 36 phiếu

Giải bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

Đề bài

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

      a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ;       b) \( y = sin2x – x\);

      c) \(y = sinx + cosx\);         d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\). Giải phương trình \(f'\left( x \right) =0\) và kí hiệu  là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính \(f''\left( x \right)\) và \(f''\left( {{x_i}} \right)\).

Bước 4: Dựa vào dấu của \(f''\left( {{x_i}} \right)\) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)\) ;

\(y' = 0\) \(⇔ 4x(\)\(x^2\)\( - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1\).

\( y'' = 12x^2-4\).

\(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\),

\(y\)CĐ  = \( y(0) = 1\).

\(y''(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\),

\(y\)CT  =  \(y(\pm1)\) = 0.

b) TXĐ: D = R.

\(y' = 2cos2x - 1\) ;
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .\)

 \(y'' = -4sin2x\) .

 \(y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)CĐ  = \( sin(\frac{\pi }{3}+ k2π) - \frac{\pi }{6} - kπ\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

\(y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x =-\frac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)CT = \(sin(-\frac{\pi }{3}+ k2π) + \frac{\pi }{6} - kπ\) =\(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

c) TXĐ: D = R.

\(y = sinx + cosx = \sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\);          

\( y' =\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\) ;

 \(y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .\)

\(y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).\) 

\(y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )\)

\(=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )\)

\(=\left\{ \matrix{
- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi\),

đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\)

d) TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)\); \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} =  \pm 1\).

\(y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\).

\(y''(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\),

\(y\)CT = \( y(1) = -1\).

\(y''(-1) = -14 < 0\) hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\),

\(y\)CĐ = \(y(-1) = 3\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan