Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12


Giải bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ;

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\). Giải phương trình \(f'\left( x \right) =0\) và kí hiệu \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính \(f''\left( x \right)\) và \(f''\left( {{x_i}} \right)\).

Bước 4: Dựa vào dấu của \(f''\left( {{x_i}} \right)\) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)\) ;

\(y' = 0\) \(⇔ 4x(x^2- 1) = 0\) \( ⇔ x = 0, x = \pm 1\).

\( y'' = 12x^2-4\).

\(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\),

\(y\)CĐ  = \( y(0) = 1\).

\(y''(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\),

\(y\)CT  =  \(y(\pm1)\) = 0.

LG b

\( y = \sin 2x – x\);

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

\(y' = 2\cos 2x - 1\) ;
\(y'=0\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi .\)

\(y'' = -4\sin 2x\).

\(y''\left ( \dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left ( \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )\)

\(=-2\sqrt{3}<0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \dfrac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)CĐ  = \( \sin (\dfrac{\pi }{3}+ k2π) - \dfrac{\pi }{6} - kπ\) = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi }{6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

\(y''\left ( -\dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left (- \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )\)

\(=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x =-\dfrac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)CT = \(\sin (-\dfrac{\pi }{3}+ k2π) + \dfrac{\pi }{6} - kπ\) =\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi }{6} - kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

LG c

\(y = \sin x + \cos x\);

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

\(y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )\);

\( y' =\sqrt{2}\cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )\) ;

 \(y'=0\Leftrightarrow \cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi .\)

\(y''=-\sqrt{2}\sin \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ).\)

\(y''\left ( \dfrac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{4}+k\pi +\dfrac{\pi }{4} \right )\)

\(=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{2} +k\pi \right )\)

\(=\left\{ \matrix{
- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr 
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi\),

đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\dfrac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\)

LG d

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)\); \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} =  \pm 1\).

\(y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\).

\(y''(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\),

\(y\)CT = \( y(1) = -1\).

\(y''(-1) = -14 < 0\) hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\),

\(y\)CĐ = \(y(-1) = 3\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 44 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Cực trị của hàm số

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.


Gửi bài