Bài 20 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C1) : \({x^2} + {y^2} + 10x = 4\) và (C2) :  \({x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0\) có tâm lần lượt là I, J.

a) Viết phương trình đường tròn (C)  đi qua giao điểm của (C1) , (C2)  và có tâm nằm trên đường thẳng d: x - 6y + 6 = 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Gọi \({T_1},{T_2}\) lần lượt là tiếp điểm của (C1) , (C2) với một tiếp tuyến chung, hãy viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua trung điểm của \({T_1},{T_2}\) và vuông góc với IJ.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.43)

a) (C1) có tâm I(-5 ; 0), bán kính \({R_1} = 5\). (C2) có tâm I(2 ; 1), bán kính \({R_2} = 5\)

Tọa độ của giao điểm A, B của (C1)(C2) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + 10x = 0 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 20 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14x + 2y + 20 = 0 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + 10x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Ta được A(-1 ; -3), B(-2 ; 4).

Gọi K là tâm của (C) ta có \(KA = KB = R \Rightarrow K \in IJ.\)

Phương trình IJ là : x - 7y + 5 = 0.

Tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x - 7y + 5 = 0 \hfill \cr
x - 6y + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 12 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy K(-12 ; -1). Ta có \({R^2} = K{A^2} = 125.\)

Vậy phương trình của đường tròn (C) là : \({\left( {x + 12} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 125.\)

b) \({R_1} = {R_2} = 5\)

=> tiếp tuyến chung \(l\) của (C1)(C2) song song với IJ. Phương trình \(l\) có dạng : 

x - 7y + c = 0.

Ta có: \(d(I,l) = {R_1}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{\left| { - 5 + c} \right|} \over {\sqrt {1 + 49} }} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {c - 5} \right| = 25\sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow c = 5 \pm 25\sqrt 2 . \cr} \)

Vậy phương trình của hai tiếp tuyến chung của (C1)(C2) là : 

\(x - 7y + 5 \pm 25\sqrt 2  = 0.\)

Đường thẳng AB đi qua trung điểm M của \({T_1}{T_2}\) và vuông góc với IJ.

Phương trình của AB là : 7x + y + 10 = 0.

Sachbaitap.net


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.