Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D'.

Đề bài

Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \((AEF)\) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính thể tích của (H).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (AEF).

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Tính thể tích của (H'): \({V_{\left( {H'} \right)}} = {V_{C'EF.C{B_1}{D_1}}} - {V_{A.B{B_1}D}} - {V_{D{D_1}K}}\)

Lời giải chi tiết

Cách vẽ thiết diện:

Ta có \(EF // B'D'\) mà \(B'D' // BD\) nên từ \(A\) kẻ đường song song với \(BD\), cắt \(CD\) kéo dài tại \(D_1\) và \(CB\) kéo dài tại \(B_1\).

Nối \(B_1E\) cắt \(BB'\) tại \(G\). Nối \(D_1F\) cắt \(DD'\) tại \(K\).

Thiết diện là ngũ giác \(AGEFK\).

Hình (H) là khối \(AGEFK.A'B'D'\).

Theo giả thiết \(E\) là trung điểm của \(B'C'\); \(F\) là trung điểm của \(C'D'\), ta có \(BB_1= BC = a = 2B'E\) \( \Rightarrow BG = 2GB' = {2 \over 3}a\)

Từ đó \({V_{A.B{B_1}G}} = \frac{1}{3}AB.{S_{B{B_1}G}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^3}}}{9} = {V_1}\)

\({V_{(A.D{D_1}K)}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}\)

Ta có:

\({S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\);

\({S_{\Delta EC'F}} = {1 \over 2}.C'E.C'F = {{{a^2}} \over 8}\)

Chiều cao hình chóp cụt \(CB_1D_1.C'EF \)là \(CC' = a\)

\({V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} = {1 \over 3}a\left( {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right) = {{7{a^3}} \over 8}\)

Thể tích của khối (H') bằng:

\({V_{(H')}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} - ({V_1} + {V_2}) = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3} = {{47} \over {72}}{a^3}\)

Từ đó thể tích của khối (H) bằng:

\({V_{(H)}} = V\)_{lập phương}\(-V\)_(H') = \(a^3 - {{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 13 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S)
Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; 2 ;-1), B(7 ; -2 ; 3)
Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 = 4a2 (a>0).
Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình.
Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3).
Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1).
Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d.a) Tìm toạ độ giao điểm A của d và (α).
Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12
Giải bài 11 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ;-2).
Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12
Giải bài 12 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1) và D(-1 ; 1 ; 2)
Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12
Giải bài 13 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12
Giải bài 14 trang 101 SGK Hình học 12. Trong không gian cho ba điểm A, B, C. Xác định điểm G sao cho
Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12
Giải bài 15 trang 101 SGK Hình học 12. Cho hai đường thẳng chéo nhau.a) Viết phương trình các mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau và lần lượt chứa d và d'.
Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (β) có phương trình 2x - 2y + z + 3 = 0.
Bài 1 trang 99 SGK Hình học 12
Giải bài 1 trang 99 SGK Hình học 12. Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F'