Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản

Bài 18 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \({{{x^2}} \over 4} + {y^2} = 1\) và điểm \(A\left( { - 1;{1 \over 2}} \right)\). Gọi d là đưởng thẳng đi qua A có hệ số góc là m. Xác định m để d cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho A là trung điểm của MN.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.41)

Phương trình đường thẳng d có dạng

\(y - {1 \over 2} = m(x + 1)\)

\( \Leftrightarrow y = m(x + 1) + {1 \over 2}.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (E) là :

\(\eqalign{
& {{{x^2}} \over 4} + {\left( {mx + m + {1 \over 2}} \right)^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4{\left[ {mx + \left( {m + {1 \over 2}} \right)} \right]^2} = 4 \cr} \)

\(\Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 1} \right){x^2} + 4\left[ {\left( {2m + 1} \right)m} \right]x + 4{\left( {m + {1 \over 2}} \right)^2} - 4 = 0.\)

A là trung điểm của MN

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x_M} + {x_N}} \over 2} = {x_A} \cr
& \Leftrightarrow {{ - 4(2{m^2} + m)} \over {2(4{m^2} + 1)}} = - 1 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 2m = 4{m^2} + 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}.\)

Sachbaitap.net