Lí thuyết nguyên hàm


Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu (x) = f(x) với mọi x ∈ K.

1, Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

b. Định lý

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

2) Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

c. Tính chất của nguyên hàm

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

 Nguyên hàm của hàm hợp

 \(\int\)0dx = C

\(\int\)dx = x + C

\(\int\)\(x^{\alpha }\)dx = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) +C    (\(\alpha\)≠  -1)

\(\int\)\(\frac{1}{x}\)dx =ln\(\left | x \right |\) +C

\(\int\)\(e^{x}\)dx = \(e^{x}\) +C

\(\int\)\(a^{x}\)dx = \(\frac{a^{x}}{lna}\) + C (a>0, a ≠ 1)

\(\int\)cosxdx = sinx + C

\(\int\)sinxdx = - cosx + C

\(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}x)}\)dx = tanx + C

\(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}x)}\)dx = - cotx + C

 \(\int\)0du = C

\(\int\)du= u +C

\(\int\)\(u^{\alpha }\)du = \(\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) + C

\(\int\)\(\frac{1}{u}\)du = ln \(\left | u\right |\) + C

\(\int\)\(e^{u}\)du = \(e^{u}\) +C

\(\int\)\(a^{u}\)du = \(\frac{a^{u}}{lna}\)  + C

\(\int\)cosudu = sinu + C 

\(\int\)sinudu = -cosu +C

\(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}u)}\)du= tanu +C

\(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}u)}\)du = - cotu +C

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du}  = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx}  = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)

Hệ quả: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)\)

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).

Chú ý: Viết gọn \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.4 trên 8 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Nguyên hàm

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài