Lớp 12
Lớp 11
Lớp 10
Lớp 9
Lớp 8
Lớp 7
Lớp 6
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Xem thêm: Bài 1. Nguyên hàm
1, Nguyên hàm và tính chất
a. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
b. Định lý
1)Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trệ K.
2)Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx
Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.
c. Tính chất của nguyên hàm
∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.
∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)
∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
d. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
|
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của hàm hợp |
|
\(\int\)0dx = C \(\int\)dx = x + C \(\int\)\(x^{\alpha }\)dx = \(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) +C (\(\alpha\)≠ -1) \(\int\)\(\frac{1}{x}\)dx =ln\(\left | x \right |\) +C \(\int\)\(e^{x}\)dx = \(e^{x}\) +C \(\int\)\(a^{x}\)dx = \(\frac{a^{x}}{lna}\) + C (a>0, a ≠ 1) \(\int\)cosxdx = sinx + C \(\int\)sinxdx = - cosx + C \(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}x)}\)dx = tanx + C \(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}x)}\)dx = - cotx + C |
\(\int\)0du = C \(\int\)du= u +C \(\int\)\(u^{\alpha }\)du = \(\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}\) + C \(\int\)\(\frac{1}{u}\)du = ln \(\left | u\right |\) + C \(\int\)\(e^{u}\)du = \(e^{u}\) +C \(\int\)\(a^{u}\)du = \(\frac{a^{u}}{lna}\) + C \(\int\)cosudu = sinu + C \(\int\)sinudu = -cosu +C \(\int\)\(\frac{1}{(cos^{2}u)}\)du= tanu +C \(\int\)\(\frac{1}{(sin^{2}u)}\)du = - cotu +C |
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Định lý 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C\)
Hệ quả: \(\int {f\left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\left( {a \ne 0} \right)\)
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(y = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} \).
Chú ý: Viết gọn \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \)
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay
Các bài liên quan: - Bài 1. Nguyên hàm
Câu hỏi 3 trang 93 SGK Giải tích 12
Giải câu hỏi 3 trang 93 SGK Giải tích 12. Hãy chứng minh Định lý 1....
Câu hỏi 2 trang 93 SGK Giải tích 12
Giải câu hỏi 2 trang 93 SGK Giải tích 12. Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1...
Câu hỏi 1 trang 93 SGK Giải tích 12
Giải câu hỏi 1 trang 93 SGK Giải tích 12. Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:
Câu hỏi 4 trang 95 SGK Giải tích 12
Giải câu hỏi 4 trang 95 SGK Giải tích 12. Hãy chứng minh Tính chất 3...
Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit
1. Định nghĩa
Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
1. Khái quát
Đề số 85 - Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 85 - Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán đề trắc nghiệm
Lý thuyết hàm số lũy thừa
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
