Giải bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12


Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

LG a

\(f(x) = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\);

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức cần tính nguyên hàm về dạng cơ bản (chẳng hạn: đa thức)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán: 

\(\int {{x^n}dx}  = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x>0\). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

\(f(x) = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.\)

\(\Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx \\ = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{6} + 1}}}}{{\frac{1}{6} + 1}} + \frac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + C\\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.\)

LG b

\( f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm:

\[\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\]

\[\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\]

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  \\= \int {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx\\= \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\dfrac{2}{e}} \right)}} - \dfrac{{{e^{ - x}}}}{{ - 1}} + C \\= \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + e^{-x} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + C.\end{array}\)

LG c

\(f(x) = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\);

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)}dx \\= \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx \\ =  - \cot x + \tan x + C \\= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C \\= \dfrac{{ - \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C \\=  - 2\cot2 x + C.\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}{\sin ^2}2x\\
\Rightarrow \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\
= \int {\frac{1}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}dx} = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx} \\
= 4.\left( { - \frac{{\cot 2x}}{2}} \right) + C\\
= - 2\cot 2x + C
\end{array}\)

Ở đó sử dụng công thức

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx}  =  - \frac{{\cot \left( {ax + b} \right)}}{a} + C\)

LG d

\(f(x) = sin5x.cos3x\)

Phương pháp giải:

Công thức phân tích tích thành tổng:

\(\sin a\cos b \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x \\= \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right).\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  \\= \int {\dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{1}{8}\cos 8x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ =  - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C.\end{array}\)

LG e

\(f(x) = tan^2x\)        

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\)\( \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\)

Nguyên hàm: \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}\\  = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {dx} \\= \tan x - x + C.\end{array}\)

LG g

\(f(x) = e^{3-2x}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {e^{3 - 2x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {{e^{3 - 2x}}dx} \\=  - \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 - 2x}}\left( {3 - 2x} \right)'dx} \\ =  - \dfrac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\end{array}\)

LG h

\(f(x) =\dfrac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - 2x + 2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} \) \(= \dfrac{{1 - 2x}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} + \dfrac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{3\left( {1 - 2x} \right)}}.\)

\(\Rightarrow \int \dfrac{dx}{(1+x)(1-2x)}\)\(=\dfrac{1}{3}\int (\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x})dx \)

\( = \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\)

Đặt \(1 + x = t \Rightarrow dx = dt\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  = \int {\dfrac{1}{t}dt} \) \( = \ln \left| t \right| + {C_1} = \ln \left| {1 + x} \right| + {C_1}\)

Đặt \(1 - 2x = t \Rightarrow  - 2dx = dt\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx}  = \int {\dfrac{{ - dt}}{t}} \) \( =  - \ln \left| t \right| + {C_2} =  - \ln \left| {1 - 2x} \right| + {C_2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - 2x} \right|} \right) + C\\ = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\end{array}\)

Vậy \(\int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 60 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Nguyên hàm

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.