Bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.4 trên 41 phiếu

Giải bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

Đề bài

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) \(f(x) = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\);

b) \( f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}\)

c) \(f(x) = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\);

d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)

e) \(f(x) = tan^2x\)        g) \(f(x) = e^{3-2x}\)

h) \(f(x) =\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Biến đổi các biểu thức cần tính nguyên hàm về các hàm số dạng cơ bản.

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán: 

\(\begin{array}{l}
\int {{x^n}dx = \dfrac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C;\;\;\int {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C;\;\;} \\
\int {{e^x}dx = {e^x} + C;\;\;\int {\cos xdx = - \sin x + C;} } \\
\int {\sin xdx = - \cos x + C} ;\;\;\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C;} \\
\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dc = - \cot x + C....}
\end{array}\)

+ Công thức phân tích tích thành tổng: \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện \(x>0\). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

\(f(x) = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.\)

\(\Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx \\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.\)

\(\begin{array}{l}b)\;\;f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx\\= \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\dfrac{2}{e}} \right)}} + {e^{ - x}} + C = \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + C.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;\;f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} } dx\\ =  - \cot x + \tan x + C = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C = \dfrac{{ - \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C =  - 2\cot2 x + C.\end{array}\)

d) Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right).\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{1}{8}\cos 8x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ =  - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}e)\;\;f\left( x \right) = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}\\ = \tan x - x + C.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}g)\;\;f\left( x \right) = {e^{3 - 2x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {{e^{3 - 2x}}dx} \\=  - \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 - 2x}}\left( {3 - 2x} \right)'dx}  =  - \dfrac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\end{array}\)

h) Ta có : \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} = \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{3\left( {1 - 2x} \right)}}.\)

\(\Rightarrow \int \dfrac{dx}{(1+x)(1-2x)}=\dfrac{1}{3}\int (\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x})dx \\= \dfrac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)+C\\ = \dfrac{1}{3}ln\left | \dfrac{1+x}{1-2x} \right | +C.\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 1. Nguyên hàm

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.