Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.8 trên 34 phiếu

Giải bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

LG a

a) \(∫x\ln (1+x)dx\);

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left( x \right)dx\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..\)

Khi đó ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\;\;\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx.} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)}}dx} } \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {1 + x} \right)} \right) + C\\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) + C\\= \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} + C.\end{array}\)

LG b

b) \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left( x \right)dx\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..\)

Khi đó ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\;\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx.} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2x - 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x + 2} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - \int {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} } \\ = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} .\end{array}\)

Xét \(\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx:} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  = \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = \left( {x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\\ \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx}  = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2x{e^x} + C\\ = \left( {{x^2} - 1} \right){e^x} + C.\end{array}\)

LG c

c) \(∫x\sin(2x+1)dx\);

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left( x \right)dx\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..\)

Khi đó ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\;\;\int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} .\)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin \left( {2x + 1} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx}  =  - \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{2}\int {\cos \left( {2x + 1} \right)dx} \\ =  - \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{4}\sin \left( {2x + 1} \right) + C.\end{array}\)

LG d

d) \(\int (1-x)\cos xdx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left( x \right)dx\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..\)

Khi đó ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\;\;\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - dx\\v = \sin x\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx}  = \left( {1 - x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} \\= \left( {1 - x} \right)\sin x - \cos x + C.\end{array}\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 1. Nguyên hàm

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.

Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay