Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.7 trên 24 phiếu

Giải bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Đề bài

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(∫xln(1+x)dx\);             b) \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx}\)

c) \(∫xsin(2x+1)dx\);         d) \(\int (1-x)cosxdx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left( x \right)dx\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..\)

Khi đó ta có:  \(\int {f\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết

 \(a)\;\;\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx.} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \int {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)}}dx} } \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {1 + x} \right)} \right) + C\\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) + C\\= \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {1 + x} \right) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C.\end{array}\)

 \(b)\;\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx.} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2x - 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x + 2} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - \int {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} } \\ = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} .\end{array}\)

Xét  \(\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx:} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  = \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = \left( {x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\\ \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx}  = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2x{e^x} + C\\ = \left( {{x^2} - 1} \right){e^x} + C.\end{array}\)

\(c)\;\;\int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} .\)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin \left( {2x + 1} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx}  =  - \frac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \frac{1}{2}\int {\cos \left( {2x + 1} \right)dx} \\ =  - \frac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \frac{1}{4}\sin \left( {2x + 1} \right) + C.\end{array}\)

\(d)\;\;\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - dx\\v = \sin x\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx}  = \left( {1 - x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} \\= \left( {1 - x} \right)\sin x - \cos x + C.\end{array}\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan