Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.7 trên 13 phiếu

Giải bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

Đề bài

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a)  \(∫{(1-x)}^9dx\)   (đặt \(u =1-x\) ) ;

b)  \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\) )

c)  \(∫cos^3xsinxdx\)   (đặt \(t = cosx\))

d)  \(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\)    (đặt \(u= e^x+1\))

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Đặt  \(u = u\left( x \right) \Rightarrow du = u'\left( x \right)dx.\)

+) Khi đó:  \( \Rightarrow I = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( u \right)du.} \)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn \(u\).

+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn \(x\).

Lời giải chi tiết

a) Cách 1: Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\). Khi đó ta được  \(-\int u^{9}du = -\dfrac{1}{10}u^{10}+C\)

Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\dfrac{(1-x)^{10}}{10}+C\)

Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)^9}dx =  - \smallint {\left( {1 - x} \right)^{9}}d\left( {1 - x} \right)=\)  \(-\dfrac{(1-x)^{10}}{10} +C\)

\(b)\;\;\int {x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}dx} .\)
Cách 1: Đặt \(u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{1}{2}du.\)
\( \Rightarrow \int {\dfrac{1}{2}{u^{\dfrac{3}{2}}}du =\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{u^{\dfrac{3}{2} + 1}}}}{{\dfrac{3}{2} + 1}} + C = \dfrac{{{u^{\dfrac{5}{2}}}}}{5} + C =\dfrac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\dfrac{5}{2}}}}}{5}} +C.\)

Cách 2:  \(\int x(1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}dx= \dfrac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\dfrac{3}{2}}d(1+x^2{}) \\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{5}(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C = \dfrac{1}{5}.(1+x^{2})^{\dfrac{5}{2}}+C\)

 \(c)\;\;{\cos ^3}x.\sin xdx.\)

Cách 1: Đặt:  \(t = {\mathop{\rm cosx}\nolimits}  \Rightarrow dt =  - sinxdx.\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{{\cos }^3}x.{\mathop{\rm sinxdx}\nolimits} }  = \int { - {t^3}du} \\ =  - \dfrac{1}{4}{t^4} + C =  - \dfrac{1}{4}{\cos ^4}x + C.\end{array}\)

Cách 2: \(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\\= -\dfrac{1}{4}.cos^{4}x + C.\)

 \(d)\;\;\int {\dfrac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}.} \)

Cách 1:

Ta có:  \({e^x} + {e^{ - x}} + 2 = {e^x} + \dfrac{1}{{{e^x}}} + 2 = \dfrac{{{e^{2x}} + 2{e^x} + 1}}{{{e^x}}} = \dfrac{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}{{{e^x}}}.\)

 \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = \dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}.\)

Đặt  \(u = {e^x} + 1 \Rightarrow du = {e^x}dx.\)

\(\int {\dfrac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}}  = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int {\dfrac{{du}}{{{u^2}}}}  =  - \dfrac{1}{u} + C =  - \dfrac{1}{{{e^x} + 1}} + C\)

Cách 2: \(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} =  \int \dfrac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\\ =  \int \dfrac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx=\dfrac{-1}{e^{x}+1} + C.\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 1. Nguyên hàm

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.