Bài 3.62 trang 134 SBT hình học 12


Giải bài 3.62 trang 134 sách bài tập hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1...

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chọn hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các điểm cần thiết.

- Viết phương trình mặt phẳng chứa \({C_1}N\) và song song \(MP\).

- Tính khoảng cách giữa \(MP\) với mặt phẳng vừa viết và kết luận.

- Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\cos \left( {MP,{C_1}N} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MP} } \right|.\left| {\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:  B1 là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}}  = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B}  = \overrightarrow k \).

Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).

Suy ra \(M\left( {0;0;\dfrac{1}{2}} \right),P\left( {1;\dfrac{1}{2};0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {MP}  = \left( {1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right);\)\(\overrightarrow {{C_1}N}  = \left( {\dfrac{1}{2};0;1} \right)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(C_1N\) và song song với MP.

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {{C_1}N} } \right] = \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{5}{4}; - \dfrac{1}{4}} \right)\) hay chọn \(\overrightarrow n = (2; - 5; - 1)\) là VTPT của \((\alpha)\)

Phương trình  của \((\alpha )\) là   \(2x – 5(y – 1) – z = 0 \) hay \(2x – 5y – z + 5 = 0\)

Ta có  \(d(MP,{C_1}N) = d(M,(\alpha )) \) \(= \dfrac{{| - \dfrac{1}{2} + 5|}}{{\sqrt {25 + 4 + 1} }} = \dfrac{9}{{2\sqrt {30} }}\)

Ta có:  \(\cos ({MP,{C_1}N}) = \dfrac{{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |}}{{|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\).  Vậy \((\widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài