Bài 3.62 trang 134 SBT hình học 12


Giải bài 3.62 trang 134 sách bài tập hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1...

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chọn hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các điểm cần thiết.

- Viết phương trình mặt phẳng chứa \({C_1}N\) và song song \(MP\).

- Tính khoảng cách giữa \(MP\) với mặt phẳng vừa viết và kết luận.

- Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\cos \left( {MP,{C_1}N} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MP} } \right|.\left| {\overrightarrow {{C_1}N} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:  B1 là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = \overrightarrow i ,\overrightarrow {{B_1}{C_1}}  = \overrightarrow j ,\overrightarrow {{B_1}B}  = \overrightarrow k \).

Trong hệ trục vừa chọn, ta có B1(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A1(1; 0; 0), D1(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C1(0; 1; 0).

Suy ra \(M\left( {0;0;\dfrac{1}{2}} \right),P\left( {1;\dfrac{1}{2};0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {MP}  = \left( {1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right);\)\(\overrightarrow {{C_1}N}  = \left( {\dfrac{1}{2};0;1} \right)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(C_1N\) và song song với MP.

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {{C_1}N} } \right] = \left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{5}{4}; - \dfrac{1}{4}} \right)\) hay chọn \(\overrightarrow n = (2; - 5; - 1)\) là VTPT của \((\alpha)\)

Phương trình  của \((\alpha )\) là   \(2x – 5(y – 1) – z = 0 \) hay \(2x – 5y – z + 5 = 0\)

Ta có  \(d(MP,{C_1}N) = d(M,(\alpha )) \) \(= \dfrac{{| - \dfrac{1}{2} + 5|}}{{\sqrt {25 + 4 + 1} }} = \dfrac{9}{{2\sqrt {30} }}\)

Ta có:  \(\cos ({MP,{C_1}N}) = \dfrac{{|\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {{C_1}N} |}}{{|\overrightarrow {MP} |.|\overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0\).  Vậy \((\widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài