Bài 3.54 trang 133 SBT hình học 12


Giải bài 3.54 trang 133 sách bài tập hình học 12. Cho hai đường thẳng ...

Đề bài

Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y =  - 2t}\\{z = 7 + t}\end{array}} \right.\)  và  d1:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 + t'}\\{y =  - 2}\\{z =  - 11 - t'}\end{array}} \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d1 đến (P) là bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nhận xét: Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.

Lời giải chi tiết

Hình 3.32

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a (0; - 2;1)\).

Đường thẳng d1 đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow b (1;0; - 1)\).

Do d và d1 chéo nhau nên (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d1. Khi đó: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t')\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow a }\\{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow b }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a  = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow b  = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t') = 0}\\{ - 8 + t' - ( - 18 - t - t') = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5t - t' - 14 = 0}\\{t + 2t' + 10 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 2}\\{t' =  - 4}\end{array}} \right.\)

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 12; - 6; - 12)\). Chọn \(\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)\)

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Chú ý:

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1 là là  \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {2;1;2} \right)\)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right]\)\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( { - 5;2;4} \right)\)

Phương trình của (Q) là : \(–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0\) hay \(–5x + 2y + 4z + 2 = 0\)

Để tìm  \({d_1} \cap (Q)\)  ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

\(–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0\) \( \Rightarrow t' = 4\)

\( \Rightarrow {d_1} \cap \left( Q \right) = B\left( { - 6; - 2; - 7} \right)\)

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa \({d_1}\) và đường vuông góc chung AB.

Khi đó: \(\overrightarrow {{n_R}}  = ( - 1;4; - 1)\)

Phương trình của (R) là \( –x  + 4y – z – 5 = 0\).

Suy ra  \(d \cap (R) = A(6;4;5)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài