Bài 3.61 trang 134 SBT hình học 12


Giải bài 3.61 trang 134 sách bài tập hình học 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm...

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC}  = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(BC\).

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(OA\).

- Tìm giao điểm \(K\) của \(\left( \alpha  \right)\) với đường thẳng trên.

- Khoảng cách bằng \(IK\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
C\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {x - 2;y;z} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left( {0,6,0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 6\\
z = 0
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;6;0} \right)
\end{array}\)

I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4)

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;0;0} \right)\)

\(OA\) đi qua O và nhận \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0;0} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow OA:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có:

\(\left( \alpha  \right) \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0;0} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là: \(x – 1 = 0 \)

Gọi K(t;0;0) là giao điểm của OA và \((\alpha )\). Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1.

Do đó \(K(1; 0; 0)\)

Khoảng cách từ I đến OA là: \(IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}}  \) \(= 5\)

Cách khác:

Sau khi tìm được I(1;3;4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau:

\(d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}}\)

Mà \(\overrightarrow {OI}  = \left( {1;3;4} \right),\overrightarrow {OA}  = \left( {2;0;0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;8; - 6} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\sqrt {0 + 64 + 36} }}{{\sqrt {4 + 0 + 0} }} = 5\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài