Bài 1.7 trang 8 SBT giải tích 12


Giải bài 1.7 trang 8 sách bài tập giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

LG câu a

a) \(\tan x > \sin x\), \(0 < x < \dfrac{\pi }{2}\)

Phương pháp giải:

Xét hàm \(f\left( x \right) = \tan x - \sin x\) và chứng minh nó đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

Xét hàm \(f\left( x \right) = \tan x - \sin x\) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x\) \( = \dfrac{{1 - {{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}} > 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) vì \(\cos x < 1\) với mọi \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên \({\cos ^3}x < 1,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - \sin x\) đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow \tan x - \sin x > 0 \Leftrightarrow \tan x > \sin x\)  với mọi \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

LG câu b

b) \(1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{{{x^2}}}{8} < \sqrt {1 + x}  < 1 + \dfrac{1}{2}x\) với \(x > 0\)

Phương pháp giải:

Xét các hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{{{x^2}}}{8} - \sqrt {1 + x} \) và \(g\left( x \right) = \sqrt {1 + x}  - 1 - \dfrac{1}{2}x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và chứng minh chúng nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

Xét \(f\left( x \right) = 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{{{x^2}}}{8} - \sqrt {1 + x} \) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}\).

Vì \(x > 0\) nên \(f'\left( x \right) < \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}.0 - \dfrac{1}{{2\sqrt {0 + 1} }} = 0\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) < f\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{{{x^2}}}{8} - \sqrt {1 + x}  < 0\) \( \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{{{x^2}}}{8} < \sqrt {1 + x} \,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(g\left( x \right) = \sqrt {1 + x}  - 1 - \dfrac{1}{2}x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \dfrac{1}{2}\)

Vì \(x > 0\) nên \(g'\left( x \right) < \dfrac{1}{{2\sqrt {0 + 1} }} - \dfrac{1}{2} = 0\) hay \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó \(g\left( x \right) < g\left( 0 \right) = 0\) hay \(\sqrt {1 + x}  - 1 - \dfrac{1}{2}x < 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {1 + x}  < 1 + \dfrac{1}{2}x\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta được \(1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{{{x^2}}}{8} < \sqrt {1 + x}  < 1 + \dfrac{1}{2}x\) với \(x > 0\). (đpcm)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài