Bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.1 trên 7 phiếu

Giải bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12. Tìm nguyên hàm :

Đề bài

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)

b) \(f(x) = \sin 4x \cos^2 2x\)

c) \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)

d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thưc nguyên hàm cơ bản, các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.

a) Rút gọn hàm số \(f(x)\) và đưa hàm số về dạng tìm nguyên hàm của hàm đa thức.

b) Sử dụng các công thức lượng giác, biến đổi để đơn giản biểu thức lấy nguyên hàm và tính nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản.

c) Dùng quy tắc tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ.

d) Khai triển hằng đẳng thức và tìm nguyên hàm của hàm số có chứa \(e^x.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\) \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx}  \\= \dfrac{3}{2}{x^4} - \dfrac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)

b) Ta có:

\(\displaystyle f\left( x \right) = \sin 4x.co{s^2}2x = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.\cos 4x)\)

\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \dfrac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\; = - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{32}}\cos 8x + C.
\end{array}\)

c) Ta có: \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}} = {1 \over 2}({1 \over {1 - x}} + {1 \over {1 + x}})\)

Vậy nguyên hàm của f(x) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}}} \right)} dx\\
\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{2}\left( { - \ln \left| {1 - x} \right| + \ln \left| {1 + x} \right| + C} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{2}ln\left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.
\end{array}\)

d) Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.
\end{array}\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.