Bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12


Giải bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12. Tìm nguyên hàm :

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

a) \(f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, các quy tắc tìm nguyên hàm để giải bài toán.

Rút gọn hàm số \(f(x)\) và đưa hàm số về dạng hàm đa thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\) \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx}  \)

\( = 6.\dfrac{{{x^4}}}{4} - 11.\dfrac{{{x^3}}}{3} + 6.\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + C\) \(= \dfrac{3}{2}{x^4} - \dfrac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)

LG b

b) \(f(x) = \sin 4x \cos^2 2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác, biến đổi để đơn giản biểu thức lấy nguyên hàm và tính nguyên hàm của hàm lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\displaystyle f\left( x \right) = \sin 4x.\cos^2 2x \) \(\displaystyle = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.\cos 4x)\)

\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \dfrac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{{\cos 4x}}{4} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \cos 8x}}{8}} \right) + C\\= - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{32}}\cos 8x + C.\end{array}\)

LG c

c) \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}}\)

Phương pháp giải:

Dùng quy tắc tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{{1 + x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{{2\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{1}{{2\left( {1 - x} \right)}} \) \(= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)\)

Vậy nguyên hàm của f(x) là: 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)} dx\\
= \dfrac{1}{2}\left( {  \ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - x} \right| + C} \right)\\
= \dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.
\end{array}\)

LG d

d) \(f(x) = (e^x- 1)^3\)

Phương pháp giải:

Khai triển hằng đẳng thức và tìm nguyên hàm của hàm số có chứa \(e^x.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\
\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.1 trên 7 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài