Bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.7 trên 11 phiếu

Giải bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12. Tính:

Đề bài

Tính:

a) \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\)

b) \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\)

c) \(\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\)

d) \(\int_0^\pi  {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.

+) Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \) , ta được: \(x = t^2- 1, dx = 2t dt\)

Khi \(x = 0\) thì \(t = 1\), khi \(x = 3\) thì \(t = 2.\)

Do đó:

\(\displaystyle \int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx = \int_1^2 {{{{t^2} - 1} \over t}} .2tdt = 2\int_1^2 {({t^2} - 1)dt}\)

\(\displaystyle= 2({{{t^3}} \over 3} - t)\left| {_1^2} \right. = 2({8 \over 3} - 2 - {1 \over 3} + 1) = {8 \over 3} \)

b) Ta có:

\(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx = \int_1^{64} {{{1 + {x^{{1 \over 2}}}} \over {{x^{{1 \over 3}}}}}} dx = \int_1^{64} {({x^{{-1 \over 3}}} + {x^{{1 \over 6}}})dx}\)
\(\displaystyle=({3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + {6 \over 7}{x^{{7 \over 6}}})\left| {_1^{64}} \right.  = \frac{{1872}}{{14}} - \frac{{33}}{{14}}= {{1839} \over {14}}. \)

c) Ta có:

\(\displaystyle \int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx = {1 \over 3}\int_0^2 {{x^2}} d{e^{3x}} \) \(\displaystyle  = {1 \over 3}{x^2}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. - {2 \over 3}\int_0^2 {x{e^{3x}}} dx \) \(=\dfrac{1}{3}\left. {{x^2}{e^{3x}}} \right|_0^2 - \dfrac{2}{9}\int\limits_0^2 {xd\left( {{e^{3x}}} \right)} \) \(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {2 \over 9}(x{e^{3x}})\left| {_0^2} \right. + {2 \over {27}}\int_0^2 {{e^{3x}}} d(3x) \)

\(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {4 \over 9}{e^6} + {2 \over {27}}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. = {2 \over {27}}(13{e^6} - 1) \)

d) Ta có:

\( \sqrt {1 + \sin 2x} = \sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }\)

\(= |{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} | \)\(\displaystyle = \sqrt 2 |\sin (x + {\pi \over 4})| \)

\(=\left\{ \matrix{
\sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}),x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 4}} \right] \hfill \cr
- \sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}),x \in \left[ {{{3\pi } \over 4},\pi } \right] \hfill \cr} \right.\) 

Do đó:

\( \displaystyle \int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx = \sqrt 2 \int_0^{{{3\pi } \over 4}} {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4})\) \(\displaystyle  - \sqrt 2 \int_{{{3\pi } \over 4}}^\pi {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4}) \)  \(\displaystyle = - \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_0^{{{3\pi } \over 4}}} \right. + \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_{{{3\pi } \over 4}}^\pi } \right. = 2\sqrt 2 \)

Loigiaihay.com

 

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.