Bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12


Giải bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12. Tính:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính:

LG a

a) \(\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.

+) Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \) , ta được: \(x = t^2- 1, dx = 2t dt\)

Khi \(x = 0\) thì \(t = 1\), khi \(x = 3\) thì \(t = 2.\)

Do đó:

\(\displaystyle \int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx = \int_1^2 {{{{t^2} - 1} \over t}} .2tdt = 2\int_1^2 {({t^2} - 1)dt}\)

\(\displaystyle= 2({{{t^3}} \over 3} - t)\left| {_1^2} \right. = 2({8 \over 3} - 2 - {1 \over 3} + 1) = {8 \over 3} \)

LG b

b) \(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx = \int_1^{64} {{{1 + {x^{{1 \over 2}}}} \over {{x^{{1 \over 3}}}}}} dx = \int_1^{64} {({x^{{-1 \over 3}}} + {x^{{1 \over 6}}})dx}\)
\(\displaystyle=({3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + {6 \over 7}{x^{{7 \over 6}}})\left| {_1^{64}} \right.  = \frac{{1872}}{{14}} - \frac{{33}}{{14}}= {{1839} \over {14}}. \)

LG c

c) \(\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {{x^2}{e^{3x}}dx} \\ = \left. {\left( {{x^2}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{2x{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \end{array}\)

Xét \({I_1} = \int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^2\\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \dfrac{1}{9}\left( {{e^6} - 1} \right)\\ = \dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}\\ \Rightarrow I = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}{I_1}\\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}} \right)\\ = \dfrac{{26}}{{27}}{e^6} - \dfrac{2}{{27}}\end{array}\)

Cách trình bày khác:

Ta có:

\(\displaystyle \int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx = {1 \over 3}\int_0^2 {{x^2}} d{e^{3x}} \) \(\displaystyle  = {1 \over 3}{x^2}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. - {2 \over 3}\int_0^2 {x{e^{3x}}} dx \) \(=\dfrac{1}{3}\left. {{x^2}{e^{3x}}} \right|_0^2 - \dfrac{2}{9}\int\limits_0^2 {xd\left( {{e^{3x}}} \right)} \) \(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {2 \over 9}(x{e^{3x}})\left| {_0^2} \right. + {2 \over {27}}\int_0^2 {{e^{3x}}} d(3x) \)

\(\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {4 \over 9}{e^6} + {2 \over {27}}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. = {2 \over {27}}(13{e^6} - 1) \)

LG d

d) \(\int_0^\pi  {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx\)

Phương pháp giải:

Biến đổi thu gọn hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân thu được.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\( \sqrt {1 + \sin 2x} \) \(= \sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }\)

\( = \sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} \)

\(= |{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} | \)

\(\displaystyle = \sqrt 2 |\sin (x + {\pi \over 4})| \)

\(=\left\{ \matrix{
\sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}),x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 4}} \right] \hfill \cr 
- \sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}),x \in \left[ {{{3\pi } \over 4},\pi } \right] \hfill \cr} \right.\) 

Do đó:

\( \displaystyle \int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx \)

\( = \int\limits_0^\pi  {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}  \)

\(= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi  {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}  \)

\(= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx}  \) \(- \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi  {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} \)

\(\displaystyle = \sqrt 2 \int_0^{{{3\pi } \over 4}} {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4})\) \(\displaystyle  - \sqrt 2 \int_{{{3\pi } \over 4}}^\pi {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4}) \)  \(\displaystyle = - \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_0^{{{3\pi } \over 4}}} \right. + \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_{{{3\pi } \over 4}}^\pi } \right.\) \(= \left( {\sqrt 2  + 1} \right) - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)\) \( = 2\sqrt 2 \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.8 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài