Bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12


Giải bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12. Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y = 2\sqrt {1 - {x^2}} \) và \(y = 2(1-x)\)

LG a

a) Tính diện tích hình D

Phương pháp giải:

+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số \(y=f(x);\) \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, (a<b)\) có diện tích được tính bởi công thức:  \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\(\eqalign{
& 2\sqrt {1 - {x^2}} = 2(1 - x) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 - x \ge 0 \hfill \cr 
1 - {x^2} = {(1 - x)^2} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr 
2{x^2} - 2x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr 
\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Đồ thị của hàm số \(y = 2\sqrt {1 - {x^2}} \) là một nửa elip \({x^2} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) với \(y ≥ 0.\)

Từ đồ thị trên ta có, diện tích của D:

\(\eqalign{
& S = \int_0^1 {\left[ {2\sqrt {1 - {x^2}} - 2(1 - x)} \right]} dx \cr 
& = 2\left[ {\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx - \int_0^1 {(1 - x)dx} } } \right] \cr} \)

Tính \(\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx\):

Đặt \(x = sin t\) , ta có: \(dx = cost dt\); \(x=0 \Rightarrow t= 0\); \(x=1 \Rightarrow t={\pi  \over 2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx = \int_0^{{\pi \over 2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} } .costdt \cr 
& = \int_0^{{\pi \over 2}} {{\mathop{\rm cost}\nolimits} .costdt = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}tdt} } \cr 
& = {1 \over 2}\int_0^{{\pi \over 2}} {(1 + \cos 2t)dt = {1 \over 2}} \left[ {t + {1 \over 2}\sin 2t} \right]\left| {_0^{{\pi \over 2}}} \right. = {\pi \over 4} \cr 
& \int_0^1 {(1 - x)dx = (x - {{{x^2}} \over 2})\left| {_0^1} \right.} = {1 \over 2} \cr 
& \Rightarrow D = 2({\pi \over 4} - {1 \over 2}) = {\pi \over 2}-1 \cr} \)

LG b

b) Quay hình D xung quanh trục \(Ox\). Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Phương pháp giải:

+) Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)\) quanh \(Ox\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình trên ta có thể tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {2\left( {1 - x} \right)} \right)}^2}} \right]dx} \\
= \pi \int\limits_0^1 {\left[ {4\left( {1 - {x^2}} \right) - 4{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]dx}
\end{array}\)

\(\eqalign{
&= 4\pi \int_0^1 {\left[ {(1 - {x^2}) - (1 - {x})^2} \right]} dx \cr 
& = 8\pi \int_0^1 {(x - {x^2}} )dx = 8\pi\left( {{{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}} \right)\left| {_0^1} \right. \cr 
& = 8\pi ({1 \over 2} - {1 \over 3}) = {{4\pi } \over 3} \, \, (đvdt). \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 8 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài