Giải bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12


Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

LG a

a) \(∫x\ln (1+x)dx\);

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left( x \right)dx\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..\)

Khi đó ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\;\;\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx.} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)}}dx} } \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {1 + x} \right)} \right) + C\\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) + C\\= \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} + C.\end{array}\)

LG b

b) \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx}\)

Lời giải chi tiết:

\(\;\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx.} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2x - 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x + 2} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx= \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - \int {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} } \\ = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} .\end{array}\)

Xét \(\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx:} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  \\= \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = \left( {x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\\ \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx}  \\= \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2x{e^x} + C\\ = \left( {{x^2} - 1} \right){e^x} + C.\end{array}\)

LG c

c) \(∫x\sin(2x+1)dx\);

Lời giải chi tiết:

\(\;\;\int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} .\)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin \left( {2x + 1} \right)dx\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx}  \\=  - \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{2}\int {\cos \left( {2x + 1} \right)dx} \\ =  - \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{4}\sin \left( {2x + 1} \right) + C.\end{array}\)

LG d

d) \(\int (1-x)\cos xdx\)

Lời giải chi tiết:

\(\;\;\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} \)

Đặt:  \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - dx\\v = \sin x\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx}  \\= \left( {1 - x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} \\= \left( {1 - x} \right)\sin x - \cos x + C.\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 57 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí