-
Khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1 Căn bậc hai - Căn bậc ba
-
Chương 2 Hàm số bậc nhất
-
Chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
- Bài 5,6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình
- Bài tập ôn tập chương 3
-
Chương 4 Hàm số y=ax^2. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2
- Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
- Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
- Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Hệ phương trình đối xứng
- Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol
- Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et
- Bài tập ôn tập chương 4
-
Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
-
Chương 6 Đường tròn
- Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7,8: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập hay và khó chương đường tròn
- Bài tập ôn tập chương 6
-
Chương 7 Góc với đường tròn
- Bài 1: Góc ở tâm- Số đo cung
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6: Cung chứa góc
- Bài 7: Tứ giác nội tiếp
- Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn
- Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn
- Bài tập vận dụng cao từ các đề thi chuyên
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8 Hình trụ - hình nón - hình cầu
Trắc nghiệm Tổng hợp câu hay và khó chương 2 Toán 9
Đề bài
Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 2\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m\).
Tìm \(m\) để \(({d_1})//({d_2})\).
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{ - 2}}{3}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{4}\)
Gọi \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\). Viết phương trình đường thẳng \(({d_3})\) đi qua \(A\) vuông góc với \(({d_1})\).
-
A.
\(y = - x + 6\)
-
B.
\(y = x + 6\)
-
C.
\(y = - x + 2\)
-
D.
\(y = - x + 2\)
Khi \(({d_1})//({d_2})\). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(({d_1}),\left( {{d_2}} \right)\).
-
A.
\(8\sqrt 2 \)
-
B.
\(9\sqrt 2 \)
-
C.
\(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{9}\)
-
D.
\(\dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\)
Tính diện tích tam giác \(OMN\) với \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\).
-
A.
\(8\)(đvdt)
-
B.
\(4\) (đvdt)
-
C.
\(2\,\)(đvdt)
-
D.
\(3\) (đvdt)
Cho đường thẳng \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0\) \((d)\).
Tìm điểm cố định \(I\) mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua.
-
A.
\(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
B.
\(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(I\left( {2;\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
D.
\(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \((d)\) là lớn nhất.
-
A.
\(m = - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(m = 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để:
Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\)
-
A.
\(a = 1,b = 1\)
-
B.
\(a = 1,b = 2\)
-
C.
\(a = 2,b = 2\)
-
D.
\(a = 2,b = 1\)
Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
-
A.
\(a = 2;b = 4.\)
-
B.
\(a = 2;b = - 4.\)
-
C.
\(a = - 2,b = 4\)
-
D.
\(a = 2,b = 2\)
Cho $2$ đường thẳng $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
-
A.
$5$ (đvdt)
-
B.
$\dfrac{5}{2}$ (đvdt)
-
C.
$\dfrac{5}{4}$ (đvdt)
-
D.
$10$ (đvdt)
Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = - 4$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 2$
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
-
A.
$1$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$4$
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$y = - 2x + 3$
-
B.
$y = 2x + 3$
-
C.
$y = - 2x - 3$
-
D.
$y = 2x - 1$
Cho đường thẳng $d:y = ({m^2} - 2m + 2)x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$ tại $A$ và cắt $Oy$ tại $B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ lớn nhất.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m=-2$
Cho tam giác $ABC$ có đường thẳng $BC:y = - \dfrac{1}{3}x + 1$ và $A\left( {1,2} \right)$ . Viết phương trình đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ .
-
A.
$y = 3x - \dfrac{2}{3}$
-
B.
$y = 3{\rm{x}} + \dfrac{2}{3}$
-
C.
$y = 3{\rm{x}} + 2$
-
D.
Đáp án khác
Điểm cố định mà đường thẳng $d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + 3 \, (k \ge 0)$ luôn đi qua là:
-
A.
$M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$
-
B.
$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$
-
C.
$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$
-
D.
Cả A, B, C đều sai.
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$y = - 2x + 3$
-
B.
$y = 2x + 3$
-
C.
$y = - 2x - 3$
-
D.
$y = 2x - 1$
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( {1;1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
-
A.
$y = 0,5x + 0,5$
-
B.
$y = 0,5x - 1$
-
C.
$y = 2x - 0,5$
-
D.
$y = 0,5x - 0,5$
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó \(x,y\) trái dấu.
-
A.
\(m > \dfrac{4}{5}\)
-
B.
\(m < \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m > \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(m < \dfrac{5}{4}\)
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x = \left| y \right|\).
-
A.
\(m = \dfrac{7}{5}\)
-
B.
\(m = \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m = \dfrac{5}{7}\)
-
D.
\(m = \dfrac{1}{5}\)
Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 2\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m\).
Tìm \(m\) để \(({d_1})//({d_2})\).
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{ - 2}}{3}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{4}\)
Gọi \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\). Viết phương trình đường thẳng \(({d_3})\) đi qua \(A\) vuông góc với \(({d_1})\).
-
A.
\(y = - x + 6\)
-
B.
\(y = x + 6\)
-
C.
\(y = - x + 2\)
-
D.
\(y = - x + 2\)
Khi \(({d_1})//({d_2})\). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(({d_1}),\left( {{d_2}} \right)\).
-
A.
\(8\sqrt 2 \)
-
B.
\(9\sqrt 2 \)
-
C.
\(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{9}\)
-
D.
\(\dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\)
Tính diện tích tam giác \(OMN\) với \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\).
-
A.
\(8\) (đvdt)
-
B.
\(4\) (đvdt)
-
C.
\(2\,\)(đvdt)
-
D.
\(3\) (đvdt)
Cho $2$ đường thẳng: $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
-
A.
$5$ (đvdt)
-
B.
$\dfrac{5}{2}$ (đvdt)
-
C.
$\dfrac{5}{4}$(đvdt)
-
D.
$10$ (đvdt)
Cho đường thẳng: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0\) \((d)\).
Tìm điểm cố định \(I\) mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua.
-
A.
\(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
B.
\(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(I\left( {2;\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
D.
\(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \((d)\) là lớn nhất.
-
A.
\(m = - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(m = 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để:
Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\):
-
A.
\(a = 1,b = 1\)
-
B.
\(a = 1,b = 2\)
-
C.
\(a = 2, b = 2\)
-
D.
\(a = 2,b = 1\)
Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
-
A.
\(a = 2;b = 4.\)
-
B.
\(a = 2;b = - 4.\)
-
C.
\(a = - 2;b = 4\)
-
D.
\(a = 2;b = 2\)
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó $x,y$ trái dấu.
-
A.
\(m > \dfrac{4}{5}\)
-
B.
\(m < \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m > \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(m < \dfrac{5}{4}\)
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $x = \left| y \right|$.
-
A.
\(m = \dfrac{7}{5}\)
-
B.
\(m = \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m = \dfrac{5}{7}\)
-
D.
\(m = \dfrac{1}{5}\)
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) mà $x,y$ đều là số nguyên.
-
A.
\(m \in \left\{ { - 3; - 2} \right\}\)
-
B.
\(m \in \left\{ { - 3; - 2;0;1} \right\}\)
-
C.
\(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\)
-
D.
\(m = - 3\)
Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thì điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng nào dưới đây?
-
A.
\(y = - x - 2\)
-
B.
-
C.
\(y = x - 2\)
-
D.
\(y = 2 - x\)
Tìm \(m\) để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = 0\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = - 1\)
Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = - 4$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 2$
Giá trị nguyên có thể có của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 3$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
Cả A, B, C đều đúng.
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$y = - 2x + 3$
-
B.
$y = 2x + 3$
-
C.
$y = - 2x - 3$
-
D.
$y = 2x - 1$
Lời giải và đáp án
Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 2\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m\).
Tìm \(m\) để \(({d_1})//({d_2})\).
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{ - 2}}{3}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{4}\)
Đáp án: C
Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) song song với nhau khi
\(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(({d_1})//({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\).
Vậy với \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(({d_1})//({d_2})\).
Gọi \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\). Viết phương trình đường thẳng \(({d_3})\) đi qua \(A\) vuông góc với \(({d_1})\).
-
A.
\(y = - x + 6\)
-
B.
\(y = x + 6\)
-
C.
\(y = - x + 2\)
-
D.
\(y = - x + 2\)
Đáp án: A
+ Tìm điểm A.
+ Sử dụng
Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) vuông góc với nhau khi \(a.a' = - 1\)
Vì \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\) suy ra tung độ điểm \(A\) là \(y = 2 + 2 = 4 \Rightarrow A\left( {2;4} \right)\) .
Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có hệ số góc là \(a = 1\), đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số góc là \(a' \Rightarrow a'.1 = - 1 \Rightarrow a' = - 1\) . Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) có dạng \(y = - x + b\). Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(A\left( {2;4} \right)\) suy ra \(4 = - 2 + b \Rightarrow b = 6\). Vậy đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(y = - x + 6\).
Khi \(({d_1})//({d_2})\). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(({d_1}),\left( {{d_2}} \right)\).
-
A.
\(8\sqrt 2 \)
-
B.
\(9\sqrt 2 \)
-
C.
\(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{9}\)
-
D.
\(\dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\)
Đáp án: D
Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\).
Sử dụng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Đường thẳng \(({d_1})//({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\).
Vậy với \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(({d_1})//({d_2})\). Khi đó \(\left( {{d_2}} \right):y = x -\dfrac{1}{4}\)
Lại có theo câu trước đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(y = - x + 6\).
Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\).
Hình vẽ: Gọi \(B\) là giao điểm của đường thẳng \(({d_3})\) và \(({d_2})\). Phương trình hoành độ giao điểm
của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là:
\( - x + 6 = x - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{{25}}{8} \Rightarrow y = \dfrac{{23}}{8} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{{23}}{8}} \right)\).
Vậy độ dài đoạn thẳng \(AB\) là: \(AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{25}}{8} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{23}}{8} - 4} \right)}^2}} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\).
Tính diện tích tam giác \(OMN\) với \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\).
-
A.
\(8\)(đvdt)
-
B.
\(4\) (đvdt)
-
C.
\(2\,\)(đvdt)
-
D.
\(3\) (đvdt)
Đáp án: C
+ Tìm tọa độ M, N. Tính độ dài \(OM;ON\) sau đó tính diện tích tam giác \(OMN.\)
Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\). Ta có:
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow M\left( { - 2;0} \right)\),
cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow N\left( { 0;2} \right)\).
Từ đó suy ra \(OM = ON = 2\).
Tam giác $OMN$ vuông cân tại \(O\) nên \({S_{OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.ON = 2\) (đvdt).
Cho đường thẳng \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0\) \((d)\).
Tìm điểm cố định \(I\) mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua.
-
A.
\(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
B.
\(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(I\left( {2;\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
D.
\(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
Đáp án: A
Đưa về phương trình bậc nhất ẩn \(m\) là \(am + b = 0\) đúng với mọi \(m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua với mọi \(m\) khi đó
ta có: \(m{x_0} + \left( {2 - 3m} \right){y_0} + m - 1 = 0\,\forall m\)\( \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 3{y_0} + 1} \right) + 2{y_0} - 1 = 0\,\forall m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\). Hay\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{1}{2}\\{y_0} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).
Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \((d)\) là lớn nhất.
-
A.
\(m = - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(m = 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Đáp án: B
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\). Đường thẳng qua \(O\) có phương trình: \(y = ax\) do \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \dfrac{1}{2} = a.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x\).
Đường thẳng \((d)\) được viết lại như sau: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m\).
+ Nếu \(m = \dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng \((d):x - \dfrac{1}{2} = 0\) song song với trục \(Oy\) nên khoảng cách từ \(O\) đến \((d)\) là \(\dfrac{1}{2}\).
+ Nếu \(m \ne \dfrac{2}{3}\) đường thẳng \((d)\) có thể viết lại: \(y = \dfrac{m}{{3m - 2}}x + \dfrac{{m - 1}}{{3m - 2}}\).
Điều kiện để \((d) \bot OI\) là \(\dfrac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó khoảng cách \(OI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Nhận thấy $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}>\dfrac{{1}}{2}$ nên khoảng cách lớn nhất cần tìm là $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ khi \(m = \dfrac{1}{2}\).
Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để:
Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\)
-
A.
\(a = 1,b = 1\)
-
B.
\(a = 1,b = 2\)
-
C.
\(a = 2,b = 2\)
-
D.
\(a = 2,b = 1\)
Đáp án: B
Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng rồi biến đổi và tính toán.
Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng ta được:
$\left\{ \begin{array}{l}3 = a + b\,\,\left( 1 \right)\\4 = 2a + b\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$.
Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(b = 3 - a\) . Thay \(b = 3 - a\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(4 = 2a + 3 - a \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 2\) .
Vậy \(a = 1,b = 2\).
Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
-
A.
\(a = 2;b = 4.\)
-
B.
\(a = 2;b = - 4.\)
-
C.
\(a = - 2,b = 4\)
-
D.
\(a = 2,b = 2\)
Đáp án: B
+ Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành
+ Thay tọa độ các điểm vừa tìm được vào hàm số để tìm \(a,b.\)
Vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) nên điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(2\) nên điểm \(B\left( {2;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Thay tọa độ điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) vào hàm số \(y = ax + b\) ta được \( - 4 = 0.a + b \Leftrightarrow b = - 4\) \( \Rightarrow y = a.x - 4\)
Thay tọa độ điểm \(B\left( {2;0} \right)\) vào hàm số \(y = a.x - 4\) ta được \(0 = a.2 - 4 \Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2.\)
Vậy \(a = 2;b = - 4.\)
Cho $2$ đường thẳng $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
-
A.
$5$ (đvdt)
-
B.
$\dfrac{5}{2}$ (đvdt)
-
C.
$\dfrac{5}{4}$ (đvdt)
-
D.
$10$ (đvdt)
Đáp án : B
- Lập bảng giá trị để xác định 2 điểm thuộc đường thẳng.
- Xác định giao điểm 2 đường thẳng đã cho
- Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết
- Dựng đường cao của tam giác được tạo thành
- Tính diện tích các tam giác phụ được tạo thành
- Tính diện tích tam giác theo yêu cầu đề bài
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$x + 3 = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 3x + 9 = - 2x + 4 \Leftrightarrow 5x = - 5 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$
Do đó giao điểm của $2$ đường thẳng đã cho là $M\left( { - 1;2} \right)$
$\begin{array}{l}d \cap Ox = A( - 3;0) \Rightarrow OA = 3\\d' \cap Ox = C(2;0) \Rightarrow OC = 2\\d \cap Oy = B(0;3) \Rightarrow OB = 3\\d' \cap Oy = D\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\\ \Rightarrow AC = OA + OC = 3 + 2 = 5\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.OB = \dfrac{1}{2}.5.3 = \dfrac{{15}}{2}(dvdt)\end{array}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$
$\begin{array}{l} \Rightarrow MH = |{y_M}| = 2\\{S_{\Delta AMC}} = \dfrac{1}{2}MH.AC = \dfrac{1}{2}.2.5 = 5(dvdt)\\{S_{\Delta BMC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMC}} = \dfrac{{15}}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}(dvdt)\end{array}$
- Trong bài toán này có khá nhiều giao điểm của các đường thẳng. Học sinh có thể nhầm trong cách đặt tên giao điểm. Do đó, không tính ra kết quả của bài toán.
- Học sinh vẫn dùng công thức tính diện tích tam giác như đã học nhưng việc này là khó vì bài này chiều cao của tam giác khó xác định. Ta sử dụng cách khác là dùng các tam giác phụ dễ tính diện tích. Từ đó, việc tính diện tích tam giác cần tìm trở lên dễ dàng hơn.
Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = - 4$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 2$
Đáp án : B
- Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước
- Đường phân giác của góc phần tư thứ 2 có phương trình $y = - x$
Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$:
$\begin{array}{l}mx + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = - 2\\ \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Rightarrow y = 2.\dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} - 1 = \dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}}.\end{array}$
Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ $2$ là $y = - x$
Vì $d$ và $d'$ cắt nhau tại $1$ điểm điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$ nên ta có:
$\dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}} = - \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Leftrightarrow - m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 4$ (t/m)
Vậy $m = - 4$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
-
A.
$1$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$4$
Đáp án : D
- Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng
- Tìm nghiệm nguyên
Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$ : $mx - 2 = 2x + 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{m - 2}}$
Ta có $x = \dfrac{3}{{m - 2}} \in Z \Leftrightarrow m - 2 \in U(3) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$
Ta có bảng sau:
Vậy $m \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}$.
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$y = - 2x + 3$
-
B.
$y = 2x + 3$
-
C.
$y = - 2x - 3$
-
D.
$y = 2x - 1$
Đáp án : C
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước
- Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$
Giả sử $MN:y = {\rm{ax}} + b$
Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$;
$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$
Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$.
Vì $M,N$ lần lượt là rung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$
Suy ra $AB$ có dạng: $y = - 2x + b'(b' \ne 2)$
Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$
$ \Rightarrow - 1 = - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' = - 3(t/m)$
Vậy $AB:y = - 2x - 3.$
Cho đường thẳng $d:y = ({m^2} - 2m + 2)x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$ tại $A$ và cắt $Oy$ tại $B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ lớn nhất.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m=-2$
Đáp án : A
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.
Biện luận và giải phương trình.
$\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 2m + 2)x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{ - 4}}{{{m^2} - 2m + 2}}} \right|\end{array}$
\( \Rightarrow OA = \dfrac{4}{{{m^2} - 2m + 2}}\)
(vì ${m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\forall m}\end{array}$)
${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.4.\dfrac{4}{{{m^2} - 2m + 2}} = \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}}$
Hay ${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{8}{{{{(m - 1)}^2} + 1}} \le \dfrac{8}{1} = 8$
Dấu “=” xảy ra khi $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.
Cho tam giác $ABC$ có đường thẳng $BC:y = - \dfrac{1}{3}x + 1$ và $A\left( {1,2} \right)$ . Viết phương trình đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ .
-
A.
$y = 3x - \dfrac{2}{3}$
-
B.
$y = 3{\rm{x}} + \dfrac{2}{3}$
-
C.
$y = 3{\rm{x}} + 2$
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : D
Sử dụng kiến thức
- $d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1$
- Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng $d:y=ax+b$ khi $y_0=ax_0+b.$
Giả sử $AH:y = {\rm{ax}} + b$
Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$ vuông góc với $BC$ nên: $a.\dfrac{{ - 1}}{3} = - 1 \Leftrightarrow a = 3$
Mặt khác $AH$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$ nên ta có: $3.1 + b = 2 \Leftrightarrow b = - 1$
Vậy $AH:y = 3x - 1$.
Học sinh không phát hiện ra đường cao $AH$ sẽ vuông góc với $BC$. Từ đó không làm được bài.
Điểm cố định mà đường thẳng $d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}x + \sqrt k + 3 \, (k \ge 0)$ luôn đi qua là:
-
A.
$M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$
-
B.
$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$
-
C.
$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$
-
D.
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án : A
$M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà d luôn đi qua$ \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d,\forall m \Leftrightarrow m.A + B = 0,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$
Giải hệ phương trình tìm nghiệm.
Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà $d$ luôn đi qua.
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 - 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k} - \sqrt k - \sqrt 3 + 3 - \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k ({x_0} + \sqrt 3 - 1) + {x_0} + 3 - \sqrt 3 + (1 - \sqrt 3 ){y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + \sqrt 3 - 1 = 0\\{x_0} + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ) + (1 - \sqrt 3 ){y_0} + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + 4 - 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\(1 - \sqrt 3 ){y_0} + {(1 - \sqrt 3 )^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 - \sqrt 3 \\{y_0} = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}$
$ \Rightarrow M\left( {1 - \sqrt 3 ;\sqrt 3 - 1} \right)$là điểm cố định mà d luôn đi qua.
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$y = - 2x + 3$
-
B.
$y = 2x + 3$
-
C.
$y = - 2x - 3$
-
D.
$y = 2x - 1$
Đáp án : C
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước
- Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$
Giả sử $MN:y = {\rm{ax}} + b$
Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$;
$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$
Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$.
Vì $M,N$ lần lượt là rung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$
Suy ra $AB$ có dạng: $y = - 2x + b'(b' \ne 2)$
Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$
$ \Rightarrow - 1 = - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' = - 3(t/m)$
Vậy $AB:y = - 2x - 3.$
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( {1;1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
-
A.
$y = 0,5x + 0,5$
-
B.
$y = 0,5x - 1$
-
C.
$y = 2x - 0,5$
-
D.
$y = 0,5x - 0,5$
Đáp án : A
+ Sử dụng kiến thức điểm thuộc đường thẳng để viết phương trình $MN.$
+ Sử dụng kiến thức đường trung bình, đường trung trực, điều kiện hai đường thẳng vuông góc và điểm thuộc đường thẳng để viết phương trình đường trung trực của $AB.$
Gọi phương trình đường trung trực của $AB$ là $d:y = mx + n$ và $MN:y = ax + b$
Ta có $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$;
$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$
Do đó $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$.
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$.
Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ nên $d \bot MN \Rightarrow m( - 2) = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$
$ \Rightarrow d:y = \dfrac{1}{2}x + n$
Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên \(d\) đi qua $P$
$ \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{2}.1 + n \Leftrightarrow n = \dfrac{1}{2}$.
Vậy trung trực của $AB$ là : $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó \(x,y\) trái dấu.
-
A.
\(m > \dfrac{4}{5}\)
-
B.
\(m < \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m > \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(m < \dfrac{5}{4}\)
Đáp án: A
+ Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\)
+ Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\)
+ Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\)
+ Biến đổi theo yêu cầu \(xy < 0\) để tìm ra điều kiện của \(m.\)
Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện)
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x = \left| y \right|\).
-
A.
\(m = \dfrac{7}{5}\)
-
B.
\(m = \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m = \dfrac{5}{7}\)
-
D.
\(m = \dfrac{1}{5}\)
Đáp án: A
+ Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\)
+ Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\)
+ Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\)
+ Biến đổi theo yêu cầu \[x = \left| y \right|\] để tìm ra điều kiện của \(m.\)
Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\).
Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2m - 1}} = \left| {\dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\) (4)
Từ (4) suy ra \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\). Với điều kiện \(m > \dfrac{1}{2}\) ta có:
\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{5}\left( l \right)\\m = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(m = \dfrac{7}{5}\).
Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = x + 2\) và đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):y = \left( {2{m^2} - m} \right)x + {m^2} + m\).
Tìm \(m\) để \(({d_1})//({d_2})\).
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{ - 2}}{3}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{4}\)
Đáp án: C
Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) song song với nhau khi
\(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(({d_1})//({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - m = 1\\{m^2} + m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 1} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\).
Vậy với \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \(({d_1})//({d_2})\).
Gọi \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\). Viết phương trình đường thẳng \(({d_3})\) đi qua \(A\) vuông góc với \(({d_1})\).
-
A.
\(y = - x + 6\)
-
B.
\(y = x + 6\)
-
C.
\(y = - x + 2\)
-
D.
\(y = - x + 2\)
Đáp án: A
+ Tìm điểm A.
+ Sử dụng: Hai đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b;\,\left( {d'} \right):y = a'x + b'\) vuông góc với nhau khi \(a.a' = - 1\).
Vì \(A\) là điểm thuộc đường thẳng \(({d_1})\) có hoành độ \(x = 2\) suy ra tung độ điểm \(A\) là \(y = 2 + 2 = 4 \Rightarrow A\left( {2;4} \right)\) .
Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) có hệ số góc là \(a = 1\), đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số góc là \(a' \Rightarrow a'.1 = - 1 \Rightarrow a' = - 1\) . Đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) có dạng \(y = - x + b\). Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(A\left( {2;4} \right)\) suy ra \(4 = - 2 + b \Rightarrow b = 6\). Vậy đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là \(y = - x + 6\).
Khi \(({d_1})//({d_2})\). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(({d_1}),\left( {{d_2}} \right)\).
-
A.
\(8\sqrt 2 \)
-
B.
\(9\sqrt 2 \)
-
C.
\(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{9}\)
-
D.
\(\dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\)
Đáp án: D
Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\).
Khi \(({d_1})//({d_2})\) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) sao cho \(AB \bot ({d_1}),AB \bot \left( {{d_2}} \right)\).
Hình vẽ:
Gọi \(B\) là giao điểm của đường thẳng
\(({d_3})\) và \(({d_2})\). Phương trình hoành độ giao điểm
của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) là:
\( - x + 6 = x - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{{25}}{8} \Rightarrow y = \dfrac{{23}}{8} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{25}}{8};\dfrac{{23}}{8}} \right)\).
Vậy độ dài đoạn thẳng \(AB\) là: \(AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{25}}{8} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{23}}{8} - 4} \right)}^2}} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{8}\).
Tính diện tích tam giác \(OMN\) với \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\).
-
A.
\(8\) (đvdt)
-
B.
\(4\) (đvdt)
-
C.
\(2\,\)(đvdt)
-
D.
\(3\) (đvdt)
Đáp án: C
+ Tìm tọa độ M, N. Tính độ dài \(OM;ON\) sau đó tính diện tích tam giác \(OMN.\)
Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) với các trục tọa độ \(Ox,Oy\). Ta có:
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right)\), cho \(y = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow N\left( { - 2;0} \right)\). Từ đó suy ra \(OM = ON = 2\).
Tam giác $OMN$ vuông cân tại \(O\) nên \({S_{OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.ON = 2\) ( đvdt).
Cho $2$ đường thẳng: $d:y = x + 3;d':y = \dfrac{{ - 2}}{3}x + \dfrac{4}{3}$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . $A$ và $C$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục hoành; $B$ và $D$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $d'$ với trục tung. Khi đó diện tích tam giác $CMB$ là:
-
A.
$5$ (đvdt)
-
B.
$\dfrac{5}{2}$ (đvdt)
-
C.
$\dfrac{5}{4}$(đvdt)
-
D.
$10$ (đvdt)
Đáp án : B
- Lập bảng giá trị để xác định 2 điểm thuộc đường thẳng.
- Xác định giao điểm 2 đường thẳng đã cho
- Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết
- Dựng đường cao của tam giác được tạo thành
- Tính diện tích các tam giác phụ được tạo thành
- Tính diện tích tam giác theo yêu cầu đề bài.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
$x + 3 = - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 3x + 9 = - 2x + 4 \Leftrightarrow 5x = - 5 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 2$
Do đó giao điểm của $2$ đường thẳng đã cho là $M\left( { - 1;2} \right)$
$\begin{array}{l}d \cap Ox = A( - 3;0) \Rightarrow OA = 3\\d' \cap Ox = C(2;0) \Rightarrow OC = 2\\d \cap Oy = B(0;3) \Rightarrow OB = 3\\d' \cap Oy = D\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\\ \Rightarrow AC = OA + OC = 3 + 2 = 5\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.OB = \dfrac{1}{2}.5.3 = \dfrac{{15}}{2}(dvdt)\end{array}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$
$\begin{array}{l} \Rightarrow MH = |{y_M}| = 2\\{S_{\Delta AMC}} = \dfrac{1}{2}MH.AC = \dfrac{1}{2}.2.5 = 5(dvdt)\\{S_{\Delta BMC}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta AMC}} = \dfrac{{15}}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}(dvdt)\end{array}$
- Trong bài toán này có khá nhiều giao điểm của các đường thẳng. Học sinh có thể nhầm trong cách đặt tên giao điểm. Do đó, không tính ra kết quả của bài toán.
- Học sinh vẫn dùng công thức tính diện tích tam giác như đã học nhưng việc này là khó vì bài này chiều cao của tam giác khó xác định. Ta sử dụng cách khác là dùng các tam giác phụ dễ tính diện tích. Từ đó, việc tính diện tích tam giác cần tìm trở lên dễ dàng hơn.
Cho đường thẳng: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0\) \((d)\).
Tìm điểm cố định \(I\) mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua.
-
A.
\(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
B.
\(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(I\left( {2;\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
D.
\(I\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
Đáp án: A
Đưa về phương trình bậc nhất ẩn \(m\) là \(am + b = 0\) đúng với mọi \(m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)
Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \((d)\) luôn đi qua với mọi \(m\) khi đó
ta có: \(m{x_0} + \left( {2 - 3m} \right){y_0} + m - 1 = 0\) với mọi \(m\)
\( \Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 3{y_0} + 1} \right) + 2{y_0} - 1 = 0\) với mọi \(m\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\).
Hay\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{1}{2}\\{y_0} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).
Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \((d)\) là lớn nhất.
-
A.
\(m = - \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(m = 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Đáp án: B
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \((d)\). Ta có: \(OH \le OI\) suy ra \(OH\) lớn nhất bằng \(OI\) khi và chỉ khi \(H \equiv I \Leftrightarrow OI \bot (d)\). Đường thẳng qua \(O\) có phương trình: \(y = ax\) do \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \dfrac{1}{2} = a.\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow OI:y = x\)
Đường thẳng \((d)\) được viết lại như sau: \(mx + \left( {2 - 3m} \right)y + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - 3m} \right)y = - mx + 1 - m\). + Đế ý rằng với \(m = \dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng \((d):x - \dfrac{1}{2} = 0\) song song với trục \(Oy\) nên khoảng cách từ \(O\) đến \((d)\) là \(\dfrac{1}{2}\). + Nếu \(m \ne \dfrac{2}{3}\) đường thẳng \((d)\) có thể viết lại: \(y = \dfrac{m}{{3m - 2}}x + \dfrac{{m - 1}}{{3m - 2}}\). Điều kiện để \((d) \bot OI\) là \(\dfrac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1 \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\). Khi đó khoảng cách \(OI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Xác định các hệ số \(a,b\) của hàm số \(y = ax + b\) để:
Đồ thị của nó đi qua hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;4} \right)\):
-
A.
\(a = 1,b = 1\)
-
B.
\(a = 1,b = 2\)
-
C.
\(a = 2, b = 2\)
-
D.
\(a = 2,b = 1\)
Đáp án: B
Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng rồi biến đổi và tính toán.
Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào phương trình của đường thẳng ta được:
$\left\{ \begin{array}{l}3 = a + b\,\,\left( 1 \right)\\4 = 2a + b\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(b = 3 - a\) . Thay \(b = 3 - a\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(4 = 2a + 3 - a \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 2\) .
Vậy \(a = 1,b = 2\).
Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
-
A.
\(a = 2;b = 4.\)
-
B.
\(a = 2;b = - 4.\)
-
C.
\(a = - 2;b = 4\)
-
D.
\(a = 2;b = 2\)
Đáp án: B
+ Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành.
+ Thay tọa độ các điểm vừa tìm được vào hàm số để tìm \(a,b.\)
Vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 4\) nên điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, đồ thị cắt trục hoành tại điểm ó hoành độ \(2\) nên điểm \(B\left( {2;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Thay tọa độ điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) vào hàm số \(y = ax + b\) ta được: \( - 4 = 0.a + b \Leftrightarrow b = - 4\) \( \Rightarrow y = a.x - 4\)
Thay tọa độ điểm \(B\left( {2;0} \right)\) vào hàm số \(y = a.x - 4\) ta được: \(0 = a.2 - 4 \Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2.\)
Vậy \(a = 2;b = - 4.\)
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\mx - y = 4\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) trong đó $x,y$ trái dấu.
-
A.
\(m > \dfrac{4}{5}\)
-
B.
\(m < \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m > \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(m < \dfrac{5}{4}\)
Đáp án: A
+ Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\)
+ Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\)
+ Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\)
+ Biến đổi theo yêu cầu \(xy < 0\) để tìm ra điều kiện của \(m.\)
Từ phương trình (1) ta có \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\). Ta có: \(x.y = \dfrac{{3\left( {4 - 5m} \right)}}{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}\). Do đó \(x.y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện).
Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn $x = \left| y \right|$.
-
A.
\(m = \dfrac{7}{5}\)
-
B.
\(m = \dfrac{4}{5}\)
-
C.
\(m = \dfrac{5}{7}\)
-
D.
\(m = \dfrac{1}{5}\)
Đáp án: A
+ Từ phương trình (1) biểu diễn \(x\) theo \(y.\)
+ Thế vào phương trình \(\left( 2 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(y.\)
+ Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\)
+ Biến đổi theo yêu cầu $x = \left| y \right|$ để tìm ra điều kiện của \(m.\)
Từ phương trình (1) ta có: \(x = 2y + 5\). Thay \(x = 2y + 5\) vào phương trình (2) ta được:\(m\left( {2y + 5} \right) - y = 4 \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).y = 4 - 5m\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Từ đó ta được: \(y = \dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}\) và \(x = 5 + 2y = \dfrac{3}{{2m - 1}}\).
Ta có: \(x = \left| y \right| \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2m - 1}} = \left| {\dfrac{{4 - 5m}}{{2m - 1}}} \right|\) (4)
Từ (4) suy ra: \(2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\). Với điều kiện: \(m > \dfrac{1}{2}\) ta có:
\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left| {4 - 5m} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - 5m = 3\\4 - 5m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{5}\left( l \right)\\m = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(m = \dfrac{7}{5}\).
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = m + 1\\mx + y = 3m - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array}\)
Tìm số nguyên \(m\) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x,y} \right)\) mà $x,y$ đều là số nguyên.
-
A.
\(m \in \left\{ { - 3; - 2} \right\}\)
-
B.
\(m \in \left\{ { - 3; - 2;0;1} \right\}\)
-
C.
\(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\)
-
D.
\(m = - 3\)
Đáp án: C
+ Từ phương trình (2) biểu diễn \(y\) theo \(x.\)
+ Thế vào phương trình \(\left( 1 \right)\) để được phương trình bậc nhất ẩn \(x.\)
+ Sử dụng kiến thức \(A.X + B = 0\) có nghiệm duy nhất khi \(A \ne 0.\)
+ Biến đổi theo yêu cầu $x;y \in Z$ để tìm ra điều kiện của \(m.\)
Từ phương trình (2) ta có \(y = 3m - 1 - mx\). Thay vào phương trình (1) ta được:\(x + m\left( {3m - 1 - mx} \right) = m + 1 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1\) (3)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{{\left( {m - 1} \right)\left( {3m + 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right).\left( {m + 1} \right)}} = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\y = 3m - 1 - m.\dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
Hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
Vậy \(x,y\) nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{{m + 1}}\) nguyên. Do đó \(m + 1\) chỉ có thể là \( - 2; - 1;1;2\). Vậy \(m \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) (thỏa mãn) hoặc \(m = 1\) (loại).
Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thì điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng nào dưới đây?
-
A.
\(y = - x - 2\)
-
B.
-
C.
\(y = x - 2\)
-
D.
\(y = 2 - x\)
Đáp án: C
+ Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước )
+ Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có hệ thức của \(x;y\) độc lập với \(m.\)
Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne \pm 1\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
Suy ra: $x - y = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} - \left( {1 - \dfrac{2}{{m + 1}}} \right) = 2$
Vậy điểm \(M\left( {x;y} \right)\) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình \(y = x - 2\).
Tìm \(m\) để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = 0\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = - 1\)
Đáp án: B
+ Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (sử dụng kết quả câu trước).
+ Tìm \(x;y\) theo \(m\) và biến đổi để có \(x.y\) nhỏ nhất.
Theo câu trước ta có hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m \ne \pm 1\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 1}}{{m + 1}} = 3 - \dfrac{2}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\) Suy ra: \(y = x - 2.\)
Nên \(xy = x.\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 2x + 1 - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge - 1\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 1 \Leftrightarrow 3 - \dfrac{2}{{m + 1}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m + 1}} = 2 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0\).
Vậy với \(m = 0\) thì \(x.y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 1$ cắt đường thẳng $d':y = 2x - 1$ tại $1$ điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = - 4$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 2$
Đáp án : B
- Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau.
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước.
- Đường phân giác của góc phần tư thứ 2 có phương trình $y = - x$.
Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$:
$\begin{array}{l}mx + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = - 2\\ \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Rightarrow y = 2.\dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} - 1 = \dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}}.\end{array}$
Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ $2$ là $y = - x$
Vì $d$ và $d'$ cắt nhau tại $1$ điểm điểm thuộc đường phân giác góc phần tư thứ $II$ và thứ $IV$ nên ta có:
$\dfrac{{ - m - 2}}{{m - 2}} = - \dfrac{{ - 2}}{{m - 2}} \Leftrightarrow - m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 4$(t/m)
Vậy $m = - 4$.
Giá trị nguyên có thể có của $m$ để $2$ đường thẳng $d:y = mx - 2;d':y = 2x + 1$ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 3$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án : D
- Điều kiện để 2 đường thẳng cắt nhau.
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng.
- Tìm nghiệm nguyên.
Ta có: $d \cap d' \Leftrightarrow m \ne 2$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $d'$: $mx - 2 = 2x + 1 \Leftrightarrow (m - 2)x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{m - 2}}$
Ta có: $x = \dfrac{3}{{m - 2}} \in Z \Leftrightarrow m - 2 \in U(3) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$.
Ta có bảng sau:
Vậy $m \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}$.
Cho $M\left( {0;2} \right),N\left( {1;0} \right),P\left( { - 1; - 1} \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$ . Phương trình đường thẳng $AB$ của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$y = - 2x + 3$
-
B.
$y = 2x + 3$
-
C.
$y = - 2x - 3$
-
D.
$y = 2x - 1$
Đáp án : C
- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước.
- Nhận xét được $MN//AB$ và $AB$ đi qua trung điểm $P$.
Giả sử: $MN:y = {\rm{ax}} + b$
Ta có: $N$ thuộc $MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a = - b$;
$M$ thuộc $MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = - 2$
Do đó: $MN:y = - 2{\rm{x}} + 2$.
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA$ của tam giác $ABC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//AB$.
Suy ra: $AB$ có dạng: $y = - 2x + b'(b' \ne 2)$
Vì $P$ là trung điểm của $AB$ nên $AB$ đi qua $P\left( { - 1; - 1} \right)$.
$ \Rightarrow - 1 = - 2( - 1) + b' \Leftrightarrow b' = - 3(t/m)$
Vậy $AB:y = - 2x - 3.$
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 2 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Vị trí tương đối của hai đường thẳng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3: Đồ thị hàm số y=ax+b Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 2: Hàm số bậc nhất Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1: Nhắc lại và bổ sung khái niệm hàm số và đồ thị hàm số Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 8 Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Toán 9
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 7 Toán 9
