-
Khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1 Căn bậc hai - Căn bậc ba
-
Chương 2 Hàm số bậc nhất
-
Chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
- Bài 5,6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình
- Bài tập ôn tập chương 3
-
Chương 4 Hàm số y=ax^2. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2
- Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
- Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
- Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Hệ phương trình đối xứng
- Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol
- Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et
- Bài tập ôn tập chương 4
-
Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
-
Chương 6 Đường tròn
- Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7,8: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập hay và khó chương đường tròn
- Bài tập ôn tập chương 6
-
Chương 7 Góc với đường tròn
- Bài 1: Góc ở tâm- Số đo cung
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6: Cung chứa góc
- Bài 7: Tứ giác nội tiếp
- Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn
- Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn
- Bài tập vận dụng cao từ các đề thi chuyên
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8 Hình trụ - hình nón - hình cầu
Trắc nghiệm Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn Toán 9
Đề bài
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi
-
A.
$\Delta ' > 0$
-
B.
$\Delta ' = 0$
-
C.
$\Delta ' \ge 0$
-
D.
$\Delta ' \le 0$
Cho phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và biệt thức $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$. Nếu $\Delta ' = 0$ thì
-
A.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
B.
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
-
C.
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$
-
D.
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{{2a}}$
Tính $\Delta '$ và tìm số nghiệm của phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) .
-
A.
$\Delta ' = 6$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
B.
$\Delta ' = 8$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
C.
$\Delta ' = 8$ và phương trình có nghiệm kép
-
D.
$\Delta ' = 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
Tìm $m$ để phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ có nghiệm là $x = 2$.
-
A.
$m = - \dfrac{5}{4}$
-
B.
$m = \dfrac{1}{4}$
-
C.
$m = \dfrac{5}{4}$
-
D.
$m = - \dfrac{1}{4}$
Tính $\Delta '$ và tìm nghiệm của phương trình \(2{x^2} + 2\sqrt {11} x + 3 = 0\) .
-
A.
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{\sqrt 1 1}}{2}$
-
B.
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{- 2\sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$ ;${x_2} = \dfrac{-2 \sqrt {11} - \sqrt 5}{2}$
-
C.
$\Delta ' = \sqrt 5 $ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \sqrt {11} + \sqrt 5 ;{x_2} = \sqrt {11} - \sqrt 5 $
-
D.
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{- \sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$ ;${x_2} = \dfrac{- \sqrt {11} - \sqrt 5}{2}$
Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt.
-
A.
$m = - \dfrac{5}{4}$
-
B.
$m = \dfrac{1}{4}$
-
C.
$m = \dfrac{5}{4}$
-
D.
$m = - \dfrac{1}{4}$
Cho phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình vô nghiệm
-
A.
$m < - 2$
-
B.
$m < 2$
-
C.
$m < 3$
-
D.
$m < - 3$
Cho phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm
-
A.
$m = - 2$
-
B.
$m = 2;m = - \dfrac{1}{4}$
-
C.
$m = - \dfrac{1}{4}$
-
D.
$m \ne 2$
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) có nghiệm
-
A.
$m \le \dfrac{1}{4}$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m \le \dfrac{1}{4};m \ne 0$
-
D.
$m \ne \dfrac{1}{4}$
Trong trường hợp phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là
-
A.
${x_1} = m - \sqrt { - m} ;{x_2} = m + \sqrt { - m} $
-
B.
${x_1} = m - \sqrt m ;{x_2} = m + \sqrt m $
-
C.
${x_1} = m - 2\sqrt { - m} ;{x_2} = m + 2\sqrt { - m} $
-
D.
${x_1} = 2m - \sqrt { - m} ;{x_2} = 2m + \sqrt { - m} $
Cho phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\) với \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
-
B.
Phương trình luôn có nghiệm kép
-
C.
Chưa đủ điều kiện để kết luận
-
D.
Phương trình luôn vô nghiệm.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + {m^2} + 3m - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
-
A.
\(m > - \dfrac{{31}}{7}\)
-
B.
\(m < - \dfrac{31}{7}\)
-
C.
\(m \le - \dfrac{31}{7}\)
-
D.
\(m \ge - \dfrac{31}{7}\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
-
A.
\(m \in \mathbb{R}\)
-
B.
\(m \ne 0\)
-
C.
\(m \ne \dfrac{3}{4}\)
-
D.
\(m \ne - \dfrac{3}{4}\)
Cho Parabol \((P):y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \((d):y=mx-2m+1\). Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau.
-
A.
m = – 2
-
B.
m = 2
-
C.
m = – 1
-
D.
m = 1
Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d): \(y=3mx-2\).Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
-
A.
\(m<\dfrac{-2}{3}\)
-
B.
\(m>\dfrac{2}{3}\)
-
C.
\(m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}\)
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số).
Giải phương trình với \(m = 1\).
-
A.
\(S = \left \{ - 1; - 3 \right \}\)
-
B.
\(S = \left \{ - 1; 3 \right \}\)
-
C.
\(S = \left \{ 1; - 3 \right \}\)
-
D.
\(S = \left \{ 1; 3 \right \}\)
Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm kép.
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(m = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\(m = \dfrac{5}{2}\)
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right.\)
-
A.
\(m = 4\)
-
B.
\(m = - 2\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = 1\)
Lời giải và đáp án
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi
-
A.
$\Delta ' > 0$
-
B.
$\Delta ' = 0$
-
C.
$\Delta ' \ge 0$
-
D.
$\Delta ' \le 0$
Đáp án : A
Dựa vào công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$.
- Nếu $\Delta '>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}$.
- Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b'}{a}$.
- Nếu $\Delta '<0$ thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta '>0$.
Cho phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và biệt thức $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$. Nếu $\Delta ' = 0$ thì
-
A.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
B.
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
-
C.
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$
-
D.
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{{2a}}$
Đáp án : C
Dựa vào công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$.
- Nếu $\Delta '>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}$.
- Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b'}{a}$.
- Nếu $\Delta '<0$ thì phương trình vô nghiệm.
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$.
Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b'}{a}$.
Tính $\Delta '$ và tìm số nghiệm của phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) .
-
A.
$\Delta ' = 6$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
B.
$\Delta ' = 8$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
C.
$\Delta ' = 8$ và phương trình có nghiệm kép
-
D.
$\Delta ' = 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đáp án : B
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$, với $b=2b'$ và $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$.
- Nếu $\Delta '>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}$.
- Nếu $\Delta '=0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b'}{a}$.
- Nếu $\Delta '<0$ thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) có $a = 7;b' = - 6;c = 4$ suy ra
$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.7 = 8 > 0$
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm $m$ để phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ có nghiệm là $x = 2$.
-
A.
$m = - \dfrac{5}{4}$
-
B.
$m = \dfrac{1}{4}$
-
C.
$m = \dfrac{5}{4}$
-
D.
$m = - \dfrac{1}{4}$
Đáp án : C
Thay $x = {x_0}$ vào phương trình đã cho ta được phương trình ẩn $m$. Giải phương trình ta tìm được $m$.
Thay $x = 2$ vào phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ ta được:
$2m{.2^2} - \left( {2m + 1} \right).2 - 3 = 0 $
$ 4m - 5 = 0$
$m = \dfrac{5}{4}$
Vậy $m = \dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm.
Tính $\Delta '$ và tìm nghiệm của phương trình \(2{x^2} + 2\sqrt {11} x + 3 = 0\) .
-
A.
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{\sqrt 1 1}}{2}$
-
B.
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{- 2\sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$ ;${x_2} = \dfrac{-2 \sqrt {11} - \sqrt 5}{2}$
-
C.
$\Delta ' = \sqrt 5 $ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \sqrt {11} + \sqrt 5 ;{x_2} = \sqrt {11} - \sqrt 5 $
-
D.
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{- \sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$ ;${x_2} = \dfrac{- \sqrt {11} - \sqrt 5}{2}$
Đáp án : D
Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) với $b = 2b'$và \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\)
Trường hợp 1. Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2. Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\)
Trường hợp 3. Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Phương trình \(2{x^2} + 2\sqrt {11} x + 3 = 0\) có $a = 2;b' = \sqrt {11} ;c = 3$ suy ra
$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = 11 - 2.3 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
${x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{- \sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$
${x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{- \sqrt {11} - \sqrt 5}{2} $.
Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt.
-
A.
$m = - \dfrac{5}{4}$
-
B.
$m = \dfrac{1}{4}$
-
C.
$m = \dfrac{5}{4}$
-
D.
$m = - \dfrac{1}{4}$
Đáp án : A
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(a \ne 0\) và \(\Delta ' > 0\)
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có $a = m;b' = - \left( {m - 1} \right);c = m - 3$
Suy ra $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 3} \right)$ $= m + 1$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $a \ne 0$ và $\Delta ' > 0$
Suy ra $m \ne 0$ và $m + 1 > 0$
hay $m \ne 0$ và $m > - 1$
Nên với đáp án $A$: $m=-\dfrac{5}{4}<-1$ thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình vô nghiệm
-
A.
$m < - 2$
-
B.
$m < 2$
-
C.
$m < 3$
-
D.
$m < - 3$
Đáp án : B
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$
TH1: $a = 0$
TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình vô nghiệm\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\) có $a = m - 3;b' = - m;c = m - 6$
Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 3} \right)\left( {m - 6} \right) = 9m - 18$
TH1: $m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3 \Rightarrow - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}$
TH2: $m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3$
Để phương trình có vô nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\9m - 18 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 2\end{array} \right. \Rightarrow m < 2$
Vậy $m < 2$ là giá trị cần tìm.
Cho phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm
-
A.
$m = - 2$
-
B.
$m = 2;m = - \dfrac{1}{4}$
-
C.
$m = - \dfrac{1}{4}$
-
D.
$m \ne 2$
Đáp án : B
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$
TH1: $a = 0$
TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình có nghiệm kép\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\)
Phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\) có $a = m - 2;b' = - \left( {m + 1} \right);c = m$
Suy ra $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)m = 4m + 1$
TH1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$. Với $m = 2$ phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{1}{3}$
TH2: $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$
Để phương trình có nghiệm kép thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow m = - \dfrac{1}{4}$
Vậy $m = - \dfrac{1}{4}$ và $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) có nghiệm
-
A.
$m \le \dfrac{1}{4}$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m \le \dfrac{1}{4};m \ne 0$
-
D.
$m \ne \dfrac{1}{4}$
Đáp án : A
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$
TH1: $a = 0$
TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) có $a = m;b' = - \left( {m - 1} \right);c = m + 2$
Suy ra $\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - m\left( {m + 2} \right) = - 4m + 1$
TH1: $m = 0$ ta có phương trình $2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$.
TH2: $m \ne 0$. Phương trình có nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 4m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \le \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Kết hợp cả hai trường hợp ta có với $m \le \dfrac{1}{4}$ thì phương trình có nghiệm.
Trong trường hợp phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là
-
A.
${x_1} = m - \sqrt { - m} ;{x_2} = m + \sqrt { - m} $
-
B.
${x_1} = m - \sqrt m ;{x_2} = m + \sqrt m $
-
C.
${x_1} = m - 2\sqrt { - m} ;{x_2} = m + 2\sqrt { - m} $
-
D.
${x_1} = 2m - \sqrt { - m} ;{x_2} = 2m + \sqrt { - m} $
Đáp án : A
Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$
Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}}= \dfrac{{-b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$
Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có $a = - 1;b' = m;c = - {m^2} - m$
Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right) = - m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $ - m > 0$ hay $m < 0$
Khi đó ${x_1} = \dfrac{{ - m + \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m - \sqrt { - m} $ ; ${x_2} = \dfrac{{ - m - \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m + \sqrt { - m} $.
Cho phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\) với \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
-
B.
Phương trình luôn có nghiệm kép
-
C.
Chưa đủ điều kiện để kết luận
-
D.
Phương trình luôn vô nghiệm.
Đáp án : D
+) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá $\Delta $.
Phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)
Có $\Delta = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} \right)$$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = {\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} \right)^2} - {b^2}$
$ = \left( {a - b - c} \right)\left( {a + c - b} \right) + \left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right) + \left( {a - c - b} \right)\left( {a - c + b} \right)$
Mà $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên $\left\{ \begin{array}{l}a - b - c < 0\\b - c - a < 0\\a - c - b < 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\end{array} \right.$
Nên $\Delta < 0$ với mọi $a,b,c$
Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi $a,b,c$.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + {m^2} + 3m - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
-
A.
\(m > - \dfrac{{31}}{7}\)
-
B.
\(m < - \dfrac{31}{7}\)
-
C.
\(m \le - \dfrac{31}{7}\)
-
D.
\(m \ge - \dfrac{31}{7}\)
Đáp án : A
Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne 0\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta'>0\).
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + {m^2} + 3m - 6 = 0\) có \(a = 1;b' = - \left( {m + 5} \right);c = {m^2} + 3m - 6\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 3m - 6} \right)\)
\(\begin{array}{l} = {m^2} + 10m + 25 - {m^2} - 3m + 6\\ = 7m + 31\end{array}\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\7m + 31 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 7m > - 31 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 31}}{7}\)
Vậy với \(m > - \dfrac{{31}}{7}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
-
A.
\(m \in \mathbb{R}\)
-
B.
\(m \ne 0\)
-
C.
\(m \ne \dfrac{3}{4}\)
-
D.
\(m \ne - \dfrac{3}{4}\)
Đáp án : D
+) \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 4mx - 4 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng với phương trình (1).
Ta có : \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\g\left( x \right) = {x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.\)
Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì :
\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g}' = {\left( {2m} \right)^2} + 4 > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 4 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\1 - 4m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne - \dfrac{3}{4}\).
Cho Parabol \((P):y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \((d):y=mx-2m+1\). Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau.
-
A.
m = – 2
-
B.
m = 2
-
C.
m = – 1
-
D.
m = 1
Đáp án : D
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép. Từ đó tìm giá trị của tham số m.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=mx-2m+1\)
\(\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}-mx+2m-1=0\)
\({{x}^{2}}-4mx+8m-4=0\,\,(*)\)
(P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép, khi đó \( \Delta '=0\)
hay \({{(-2m)}^{2}}-(8m-4)=0\)
\(4{{m}^{2}}-8m+4=0\)
\({{(2m-2)}^{2}}=0\)
\(m=1\)
Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d): \(y=3mx-2\).Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
-
A.
\(m<\dfrac{-2}{3}\)
-
B.
\(m>\dfrac{2}{3}\)
-
C.
\(m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}\)
Đáp án : C
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Từ đó tìm giá trị của tham số m.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}=3mx-2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6mx+4=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)
Để (d) và (P) có 2 giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} - 4 > 0\\
\Leftrightarrow (3m - 2)(3m + 2) > 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\).
Vậy với \(m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số).
Giải phương trình với \(m = 1\).
-
A.
\(S = \left \{ - 1; - 3 \right \}\)
-
B.
\(S = \left \{ - 1; 3 \right \}\)
-
C.
\(S = \left \{ 1; - 3 \right \}\)
-
D.
\(S = \left \{ 1; 3 \right \}\)
Đáp án: A
Thay m=1 vào phương trình rồi dùng công thức nghiệm thu gọn.
Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).
Ta có: \(\Delta'=2^2-3=1>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =\dfrac{-2+1}{1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{-2-1}{1} = - 3\end{array} \right.\).
Vậy khi \(m = 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm kép.
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(m = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\(m = \dfrac{5}{2}\)
Đáp án: C
Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (với \(a\ne 0)\) có nghiệm kép khi \(\Delta'=0\)
Phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) có \(\Delta ' = {2^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4 - 2m - 1 = 3 - 2m\).
Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta = 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).
Vậy với \(m = \dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có nghiệp kép.
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right.\)
-
A.
\(m = 4\)
-
B.
\(m = - 2\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = 1\)
Đáp án : C
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right. \)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {y^2} = mxy\end{array} \right. \)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {(8 - x)^2} = mx(8 - x)\end{array} \right. \)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + 64 - 16x + {x^2} = 8mx - m{x^2}\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\(m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\end{array} \right.\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình \((m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\) \((I)\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8(y \ne 0)\)
+ Nếu \(m=-2\) thì \((-2 + 2){x^2} - 8x(-2 + 2) + 64 = 0 + 0 + 64 = 64 \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm với \(m = - 2\)
+ Nếu \(m \ne - 2 \) thì (I) là phương trình bậc hai một ẩn, để phương trình này có nghiệm duy nhất thì \({\Delta'} = 0\).
Suy ra \(16{(m + 2)^2} - 64(m + 2) = 0\)
\({(m + 2)^2} - 4(m + 2) = 0\)
\({(m + 2)}(m + 2 - 4) = 0\)
\({(m + 2)}(m - 2) = 0\)
Suy ra \(m + 2 = 0\) hoặc \(m + 2 = 4\)
\(m = - 2\) hoặc \(m = 2\)
Do \(m \ne - 2\) nên chỉ có \(m = 2\) là thỏa mãn để phương trình \((I)\) có nghiệm duy nhất.
Thay m vào (I), ta được:
\((2 + 2){x^2} - 8x(2 + 2) + 64 = 0\)
\(4{x^2} - 32x + 64 = 0\)
\((2x - 8)^2 = 0\) suy ra \(x = 4\)
Nghiệm của phương trình (I) là \({x_0} = 4\) (thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8\))
Với \(x = 4\) thay vào ta tìm được \(y=4\)
Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Hệ phương trình đối xứng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 4 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 8 Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Toán 9
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 7 Toán 9
