Trắc nghiệm Bài tập hay và khó chương hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9

Đề bài

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm,{\rm{ }}BC = 10cm,$ đường cao $AH.$ Gọi $E,{\rm{ }}F$ là hình chiếu của $H$ lần lượt lên $AB,{\rm{ }}AC.$

Câu 1.1

Tính \(EF.\)

  • A.

    \(4,8\,cm\)

  • B.

    \(2,4\,cm\)

  • C.

    \(5,6\,cm\)      

  • D.

    \(6,4\,cm\)

Câu 1.2

Chọn câu đúng.

  • A.

    $AE.AB = AF.AC.$         

  • B.

    $AE.AF = AB.AC.$

  • C.

    $AE.AC = AF.AB.$

  • D.

    $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}}.$

Câu 1.3

Tính: \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\).

  • A.

    \(2\)

  • B.

    \( - 1\)

  • C.

    \(1\)

  • D.

    \(0\)

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH.$ Qua $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $D.$ Tia phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $N$ và $BD$ tại $M.$

Câu 2.1

Chọn câu đúng.

  • A.

    \(CN.CB = CM.CD\)                  

  • B.

    \(CN.CM = CD.CB\)

  • C.

    \(C{N^2} = CM.CB\)

  • D.

    \(CN.CD = CM.CB\)

Câu 2.2

Chọn câu đúng.

  • A.

    \(NA.MD = CA.CD\)

  • B.

    \(\dfrac{{NA}}{{CD}} = \dfrac{{CA}}{{MD}}\)

  • C.

    \(\dfrac{{NA}}{{MD}} = \dfrac{{CA}}{{CD}}\).

  • D.

    Cả A, B, C đều đúng.

Câu 3 :

Cho  tam giác cân \(ABC\) có đáy \(BC = 2a\), cạnh bên bằng \(b\left( {b > a} \right)\).

Câu 3.1

Tính diện tích tam giác $ABC$

  • A.

    \(S = a\sqrt {{b^2} - {a^2}} \)    

  • B.

    \(S = \dfrac{1}{2}a\sqrt {{b^2} - {a^2}} \)

  • C.

    \(S = \dfrac{1}{2}\sqrt {{b^2} - {a^2}} \)

  • D.

    \(S = \sqrt {{b^2} - {a^2}} \)

Câu 3.2

Kẻ \(BK \bot AC\). Tính tỷ số $\dfrac{{AK}}{{AC}}$.

  • A.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{{a^2}}}$

  • B.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {2{b^2} - {a^2}} \right|}}{{{b^2}}}$

  • C.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{{b^2}}}$ 

  • D.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{2b}}$

Câu 4 :

Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB\). Tính diện tích của hình thang.

  • A.

    \(350\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)          

  • B.

    \(50\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)      

  • C.

    \(250\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)               

  • D.

    \(700\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)

Câu 5 :

Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\). Tính \(\tan B.\tan C\)

  • A.

    \(\dfrac{1}{2}\)

  • B.

    \(\dfrac{1}{3}\)      

  • C.

    \(2\)

  • D.

    \(3\)

Câu 6 :

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),\(AB < AC,\widehat C = \alpha  < {45^0}\), đường trung tuyến \(AM\), đường cao \(AH\), \(MA = MB = MC = a.\) Chọn câu đúng.

  • A.

    \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha ;\)

  • B.

    \(1 + c{\rm{os}}2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha ;\)

  • C.

    \(1 - c{\rm{os}}2\alpha  = 2si{n^2}\alpha .\)

  • D.

    Cả A, B, C đều đúng.

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C,$ đường cao $CK.$ Gọi \(H\)  và $I$ theo thứ tự là hình chiếu của K trên $BC$ và $AC.$ Gọi $M$ là chân đường vuông kẻ từ $K$ xuống $IH.$ Chọn câu đúng.

  • A.

    \(\dfrac{1}{{K{M^2}}} = \dfrac{1}{{C{H^2}}} + \dfrac{1}{{C{I^2}}}\)

  • B.

    \(\dfrac{{AI}}{{BH}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^3}\)

  • C.

    A đúng, B sai

  • D.

    Cả A, B đều đúng.

Câu 8 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB,{\rm{ }}AC.$ Chọn câu đúng.

  • A.

    $D{E^3} = BD.CE.BC$    

  • B.

    $D{E^2} = BD.CE.BC$

  • C.

    $D{E^4} = BD.CE.BC$    

  • D.

    Cả A, B,  C đều sai.   

Câu 9 :

Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi \(72\,cm\), hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(7\,cm.\)

  • A.

    \(100\,c{m^2}\)           

  • B.

    \(44\,c{m^2}\)      

  • C.

    \(144\,c{m^2}\)

  • D.

    \(24\,c{m^2}\)

Câu 10 :

Cho hình vuông \(ABCD\). Tính \(\cos \,\widehat {MAN}\)  biết rằng \(M,N\)  theo thứ tự là trung điểm của \(BC;CD.\)

  • A.

    \(\dfrac{2}{3}\)

  • B.

    \(\dfrac{1}{2}\)      

  • C.

    \(\dfrac{3}{4}\)     

  • D.

    \(\dfrac{4}{5}\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm,{\rm{ }}BC = 10cm,$ đường cao $AH.$ Gọi $E,{\rm{ }}F$ là hình chiếu của $H$ lần lượt lên $AB,{\rm{ }}AC.$

Câu 1.1

Tính \(EF.\)

  • A.

    \(4,8\,cm\)

  • B.

    \(2,4\,cm\)

  • C.

    \(5,6\,cm\)      

  • D.

    \(6,4\,cm\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)(cm)     

Lại có: $AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$ nên

\(AH.BC = AB.AC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( =  > AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{6.8}}{{10}} = 4,8\left( {cm} \right)\)

Dễ thấy tứ giác $AFHE$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) 

Nên $EF = AH = 4,8\left( {cm} \right)$

Câu 1.2

Chọn câu đúng.

  • A.

    $AE.AB = AF.AC.$         

  • B.

    $AE.AF = AB.AC.$

  • C.

    $AE.AC = AF.AB.$

  • D.

    $\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}}.$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(AHB;AHC.\)

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác vuông $AHB$ có đường cao $HE$ , ta có:

\(A{H^2} = AE.AB\)

Tương tự với tam giác vuông $AHC,$ ta có:

\(A{H^2} = AF.AC\)

Do đó: $AE.AB = AF.AC$

Câu 1.3

Tính: \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\).

  • A.

    \(2\)

  • B.

    \( - 1\)

  • C.

    \(1\)

  • D.

    \(0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác  và định lý Pytago

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác vuông \(ABC\)  có

Ta có: \(\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}\)

\(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\;\;\)

\(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

Vậy \(A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\;\)

\( = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \dfrac{{AC}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1\)  mà theo Pytago ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)  nên

\(A = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0\)

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH.$ Qua $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $D.$ Tia phân giác của góc $C$ cắt $AB$ tại $N$ và $BD$ tại $M.$

Câu 2.1

Chọn câu đúng.

  • A.

    \(CN.CB = CM.CD\)                  

  • B.

    \(CN.CM = CD.CB\)

  • C.

    \(C{N^2} = CM.CB\)

  • D.

    \(CN.CD = CM.CB\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng để tìm hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta C{\rm A}{\rm N}\) đồng dạng với $\Delta CBM$  (g-g)

Suy ra \(\dfrac{{CN}}{{CM}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có  \(\Delta CAB\) đồng dạng với \(\Delta CBD\)  (g-g)

Suy ra \(\dfrac{{CA}}{{CB}} = \dfrac{{CB}}{{CD}}\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2)   \( \Rightarrow \dfrac{{CN}}{{CM}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Rightarrow CN.CD = CM.CB\)

Câu 2.2

Chọn câu đúng.

  • A.

    \(NA.MD = CA.CD\)

  • B.

    \(\dfrac{{NA}}{{CD}} = \dfrac{{CA}}{{MD}}\)

  • C.

    \(\dfrac{{NA}}{{MD}} = \dfrac{{CA}}{{CD}}\).

  • D.

    Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng và tính chất đường phân giác để tìm hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\Delta C{\rm A}{\rm N}\) đồng dạng với $\Delta CBM$  (g-g)  (theo câu trước) nên \(\dfrac{{NA}}{{CA}} = \dfrac{{MB}}{{CB}}\;\left( 3 \right)\)

Tia $CM$ là phân giác của góc $BCD$ nên

\(\dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{CB}} = \dfrac{{MD}}{{CD}}\)   (4)

Từ (3) và (4)  \( \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{CA}} = \dfrac{{MD}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{MD}} = \dfrac{{CA}}{{CD}}\).

Câu 3 :

Cho  tam giác cân \(ABC\) có đáy \(BC = 2a\), cạnh bên bằng \(b\left( {b > a} \right)\).

Câu 3.1

Tính diện tích tam giác $ABC$

  • A.

    \(S = a\sqrt {{b^2} - {a^2}} \)    

  • B.

    \(S = \dfrac{1}{2}a\sqrt {{b^2} - {a^2}} \)

  • C.

    \(S = \dfrac{1}{2}\sqrt {{b^2} - {a^2}} \)

  • D.

    \(S = \sqrt {{b^2} - {a^2}} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Tính \(AH\) theo định lý Pytago từ đó tính diện tích tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết :

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Theo định lý Pitago ta có:

\(A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {b^2} - {a^2}\)\( \Rightarrow AH = \sqrt {{b^2} - {a^2}} \)

Suy ra \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}BC.AH = \dfrac{1}{2}.2a\sqrt {{b^2} - {a^2}}= a\sqrt {{b^2} - {a^2}}\)

Câu 3.2

Kẻ \(BK \bot AC\). Tính tỷ số $\dfrac{{AK}}{{AC}}$.

  • A.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{{a^2}}}$

  • B.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {2{b^2} - {a^2}} \right|}}{{{b^2}}}$

  • C.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{{b^2}}}$ 

  • D.

    $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{2b}}$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng diện tích tam giác \(ABC\) đã tính ở câu trước và định lý Pytago để tính \(AK\) , từ đó suy ra tỉ số \(\dfrac{{AK}}{{AC}}.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{1}{2}BC.AH = \dfrac{1}{2}BK.AC = {S_{ABC}}\)

Suy ra \(BK = \dfrac{{BC.AH}}{{AC}} = \dfrac{{2a}}{b}\sqrt {{b^2} - {a^2}} \).

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(AKB\) ta có: \(A{K^2} = A{B^2} - B{K^2} = {b^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = \dfrac{{{{\left( {{b^2} - 2{a^2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}}\).

Suy ra \(AK = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{b}\) do đó $\dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{\left| {{b^2} - 2{a^2}} \right|}}{{{b^2}}}$.

Câu 4 :

Cho hình thang \(ABCD\) có \(\widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat B = {60^0},CD = 30cm,CA \bot CB\). Tính diện tích của hình thang.

  • A.

    \(350\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)          

  • B.

    \(50\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)      

  • C.

    \(250\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)               

  • D.

    \(700\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Kẻ \(CH \bot AB\).

Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có $\tan \widehat{CAD}=\dfrac{DC}{AD}\Leftrightarrow  AD=DC:\tan 60^0=AD = 10\sqrt 3$ \(\left( {cm} \right)\).

Kẻ \(CH \bot AB\). Tứ giác \(AHCD\) là hình chữ nhật vì có \(\widehat A = \widehat D = \widehat H = {90^0}\), suy ra \(AH = CD = 30cm;CH = AD = 10\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

Tam giác \(ACB\) vuông tại \(C\), ta có: \(C{H^2} = HA.HB\), suy ra \(HB = \dfrac{{C{H^2}}}{{HA}} = \dfrac{{{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{30}} = \dfrac{{300}}{{30}} = 10\left( {cm} \right)\),

do đó \(AB = AH + HB = 30 + 10 = 40\left( {cm} \right).\)

\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CH\left( {AB + CD} \right)=\dfrac{1}{2}.10\sqrt 3 .\left( {40 + 30} \right) = 350\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right).\)

Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) bằng \(350\sqrt 3 c{m^2}\)

Câu 5 :

Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\). Tính \(\tan B.\tan C\)

  • A.

    \(\dfrac{1}{2}\)

  • B.

    \(\dfrac{1}{3}\)      

  • C.

    \(2\)

  • D.

    \(3\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

+ Tam giác đồng dạng

+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\tan B = \dfrac{{AD}}{{BD}};\tan C = \dfrac{{AD}}{{CD}}\).

Suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}\)   (1)

\(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)); \(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}\).

Do đó \(\Delta BDH \backsim \Delta ADC\) (g.g), suy ra \(\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(BD.DC = DH.AD\)  (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}\)  (3).

Theo giả thiết \(\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{1}{{2 + 1}}\) hay \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}\), suy ra \(AD = 3HD\).

Thay vào (3) ta được: \(\tan B.\tan C = \dfrac{{3HD}}{{DH}} = 3\).

Câu 6 :

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),\(AB < AC,\widehat C = \alpha  < {45^0}\), đường trung tuyến \(AM\), đường cao \(AH\), \(MA = MB = MC = a.\) Chọn câu đúng.

  • A.

    \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha ;\)

  • B.

    \(1 + c{\rm{os}}2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha ;\)

  • C.

    \(1 - c{\rm{os}}2\alpha  = 2si{n^2}\alpha .\)

  • D.

    Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong các tam giác thích hợp.

Lời giải chi tiết :

Góc \(2\alpha \) là góc \(AMH\).

+ Ta có \(BC = 2AM;\,AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}}\)  nên \(\sin 2\alpha  = \sin \widehat {AMH} = \dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{2AH}}{{BC}}\)\( = 2.\dfrac{{AB.AC}}{{B{C^2}}} = 2.\dfrac{{AB}}{{BC}}.\dfrac{{AC}}{{BC}}\)

Mà theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có \(\sin \alpha  = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)  nên

\(\sin 2\alpha  = 2.\sin \alpha .\cos \alpha \)  hay A đúng.

+)  Ta có \(\cos 2\alpha  = \cos \widehat {AMH} = \dfrac{{HM}}{{AM}}\)  (trong tam giác vuông \(AMH\) ) ; \(A{C^2} = HC.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}}\) và \(\cos \alpha  = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)  nên

\(1 + \cos 2\alpha  = 1 + \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{AM + HM}}{{AM}} = \dfrac{{HM + MC}}{{AM}} = \dfrac{{HC}}{{AM}}\) \( = 2\dfrac{{HC}}{{BC}} = 2\dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\cos ^2}\alpha ;\)

Do đó B đúng.

+) \(1 - \cos 2\alpha  = 1 - \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{AM - HM}}{{AM}} = \dfrac{{HB}}{{AM}}\)\( = 2\dfrac{{HB}}{{BC}} = 2\dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\sin ^2}\alpha \)

Do đó C đúng.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C,$ đường cao $CK.$ Gọi \(H\)  và $I$ theo thứ tự là hình chiếu của K trên $BC$ và $AC.$ Gọi $M$ là chân đường vuông kẻ từ $K$ xuống $IH.$ Chọn câu đúng.

  • A.

    \(\dfrac{1}{{K{M^2}}} = \dfrac{1}{{C{H^2}}} + \dfrac{1}{{C{I^2}}}\)

  • B.

    \(\dfrac{{AI}}{{BH}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^3}\)

  • C.

    A đúng, B sai

  • D.

    Cả A, B đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác \(HKIC\)  là hình chữ nhật

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thích hợp để biến đổi.

Lời giải chi tiết :

+) Xét tứ giác \(HKIC\) có \(\widehat C = \widehat I = \widehat H = 90^\circ \) nên tứ giác \(HKIC\)  là hình chữ nhật suy ra \(HK = CI;HC = IK;KC = HI\) .

+) Xét tam giác vuông \(KHI\)  có \(KM\) là chiều cao nên theo hệ thức lượng ta có\(\dfrac{1}{{K{M^2}}} = \dfrac{1}{{K{H^2}}} + \dfrac{1}{{K{I^2}}} = \dfrac{1}{{C{I^2}}} + \dfrac{1}{{H{C^2}}}\)  (vì \(HK = CI;HC = IK\)) nên A đúng.

+)  Xét tam giác vuông \(KAC\) , theo hệ thức lượng ta có \(K{A^2} = AI.AC \Rightarrow AI = \dfrac{{K{A^2}}}{{AC}}\)

Xét tam giác vuông \(KBC\) , theo hệ thức lượng ta có \(K{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{K{B^2}}}{{BC}}\)

Lại có theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) thì \(A{C^2} = AK.AB \Rightarrow KA = \dfrac{{A{C^2}}}{{AB}}\) ;

\(B{C^2} = KB.AB \Rightarrow KB = \dfrac{{B{C^2}}}{{AB}}\) .

Từ đó ta có \(\dfrac{{AI}}{{BH}} = \dfrac{{K{A^2}}}{{AC}}:\dfrac{{K{B^2}}}{{BC}}\) $ = \left( {\dfrac{{A{C^2}}}{{AB}}:\dfrac{{B{C^2}}}{{AB}}} \right)^2.\dfrac{{BC}}{{AC}}$ \( = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^4}.\dfrac{{BC}}{{AC}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^3}\)

Do đó B đúng.

Hay cả A, B đều đúng.

Câu 8 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB,{\rm{ }}AC.$ Chọn câu đúng.

  • A.

    $D{E^3} = BD.CE.BC$    

  • B.

    $D{E^2} = BD.CE.BC$

  • C.

    $D{E^4} = BD.CE.BC$    

  • D.

    Cả A, B,  C đều sai.   

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác \(DHEA\)  là hình chữ nhật

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thích hợp để biến đổi.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác \(DAEH\) có \(\widehat D = \widehat A = \widehat E = 90^\circ \)  nên nó là hình chữ nhật suy ra \(AH = DE.\)

Theo hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(AHB;\,AHC\)  ta có

\(H{B^2} = BD.AB \Rightarrow BD = \dfrac{{H{B^2}}}{{AB}}\) ; \(H{C^2} = CE.CA \Rightarrow CE = \dfrac{{H{C^2}}}{{AC}}\)  nên ta có

\(BD.CE.BC = \dfrac{{H{B^2}}}{{AB}}.\dfrac{{H{C^2}}}{{AC}}.BC\)

\( = {\left( {HB.HC} \right)^2}.\dfrac{{BC}}{{AB.AC}}\) mà \(HB.HC = A{H^2}\)  (hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) )

\( = A{H^4}.\dfrac{1}{{AH}} = A{H^3} = D{E^3}\) (vì \(AH = DE\) (cmt))

Vậy $D{E^3} = BD.CE.BC$.

Câu 9 :

Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi \(72\,cm\), hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(7\,cm.\)

  • A.

    \(100\,c{m^2}\)           

  • B.

    \(44\,c{m^2}\)      

  • C.

    \(144\,c{m^2}\)

  • D.

    \(24\,c{m^2}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đặt \(AM = x\,\left( {x > 0} \right)\)  rồi dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm ra phương trình ẩn \(x.\)

Giải phương trình ta tìm được \(x.\) Từ đó tính \(AH,BC \Rightarrow {S_{ABC}}.\)

Lời giải chi tiết :

Đặt \(AM = x\,\left( {x > 0;cm} \right) \Rightarrow BC = 2x\,\left( {cm} \right);AH = x - 7\,\left( {cm} \right)\)

Vì chu vi tam giác \(ABC\) là \(72cm\) nên \(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2x\,\left( {cm} \right)\)

Theo các hệ thức trong tam giác vuông:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{x^2}\,\,\left( 1 \right)\) ; \(AB.AC = BC.AH = 2x\left( {x - 7} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right)\) suy ra \(A{B^2} + A{C^2} + 2AB.AC = 4{x^2} + 4x\left( {x - 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {AB + AC} \right)^2} = 8{x^2} - 28x \Leftrightarrow {\left( {72 - 2x} \right)^2} = 8{x^2} - 28x\)

Đưa về phương trình \({x^2} + 65x - 1296 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 16} \right)\left( {x + 81} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( N \right)\\x =  - 81\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Từ đó \(BC = 32\,cm;\,AH = 9\,cm.\) Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.32.9 = 144\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Câu 10 :

Cho hình vuông \(ABCD\). Tính \(\cos \,\widehat {MAN}\)  biết rằng \(M,N\)  theo thứ tự là trung điểm của \(BC;CD.\)

  • A.

    \(\dfrac{2}{3}\)

  • B.

    \(\dfrac{1}{2}\)      

  • C.

    \(\dfrac{3}{4}\)     

  • D.

    \(\dfrac{4}{5}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chứng minh \(AN \bot DM\) . Gọi  \(H\) là giao điểm của \(AN\)   và \(DM\).

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính \(\cos \,\widehat {MAN}.\)

Lời giải chi tiết :

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AN\)   và \(DM\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông và \(M,N\)  theo thứ tự là trung điểm của \(BC;CD.\)

Nên \(AD = DC;\,DN = CM\)

Từ đó $\Delta ADN = \Delta DCM\,\left( {c.g.c} \right)$  nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}} \Rightarrow AH \bot DM\)  (do $\widehat {{A_1}} + \widehat {AND} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {HND} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {DHN} = 90^\circ $ )

Suy ra \(\cos \widehat {MAN} = \dfrac{{AH}}{{AM}}\)

Đặt \(AB = AD = 2a\)  ta tính được \(AM = AN = a\sqrt 5 \)

Từ \(A{D^2} = AH.AN\)  ta có \(AH = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\) . Do đó

\(\cos \widehat {MAN} = \dfrac{{AH}}{{AM}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}:\left( {a\sqrt 5 } \right) = \dfrac{4}{5}.\)

Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 5 Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 5 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết
Trắc nghiệm Bài 5: Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5: Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết
Trắc nghiệm Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết
Trắc nghiệm Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết
Trắc nghiệm Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết