Trắc nghiệm Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol Toán 9

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là: \({x^2} = mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0\) . Ta có \(\Delta  = {m^2} + 16 > 0\), với mọi \(m\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 4\end{array} \right.\) 

Ta có $Q = \dfrac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}  $\(\Rightarrow Q = \dfrac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}}\). 

Ta xét \({m^2} + 8 - \left( {2m + 7} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,\,\forall m\)  nên \({m^2} + 8 \ge 2m + 7 \Rightarrow Q = \dfrac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}} \le 1\)

Dấu “=’ xảy ra khi \({m^2} + 8 = 2m + 7 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 1\)

Suy ra giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(1\)  khi \(m = 1.\)

Để ý rằng đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(I\left( {0;4} \right)\) nằm trên trục tung. Ngoài ra nếu gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì \({x_1}.{x_2} =  - 4 < 0\)

(do \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - mx - 4 = 0\) ) 

nên hai giao điểm $A,B$ nằm về hai phía trục tung.

Giả sử \({x_1} < 0 < {x_2}\) thì ta có:

\({S_{OAB}} = {S_{OAI}} + {S_{OBI}} = \dfrac{1}{2}AH.OI + \dfrac{1}{2}BK.OI\) với \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(A,B\) trên trục \(Oy\). Ta có \(OI = 4,AH = \left| {{x_1}} \right| =  - {x_1},BK = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}\). Suy ra \({S_{OAB}} = 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\) \( \Rightarrow S_{OAB}^2 = 4{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\).

Theo định lý Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = m,{x_1}{x_2} =  - 4\). Thay vào ta có: $S_{OAB}^2 = 4\left( {{m^2} + 16} \right) = 64 \Leftrightarrow m = 0$.