-
Khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1 Căn bậc hai - Căn bậc ba
-
Chương 2 Hàm số bậc nhất
-
Chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
- Bài 5,6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình
- Bài tập ôn tập chương 3
-
Chương 4 Hàm số y=ax^2. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2
- Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
- Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
- Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Hệ phương trình đối xứng
- Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol
- Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et
- Bài tập ôn tập chương 4
-
Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
-
Chương 6 Đường tròn
- Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7,8: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập hay và khó chương đường tròn
- Bài tập ôn tập chương 6
-
Chương 7 Góc với đường tròn
- Bài 1: Góc ở tâm- Số đo cung
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6: Cung chứa góc
- Bài 7: Tứ giác nội tiếp
- Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn
- Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn
- Bài tập vận dụng cao từ các đề thi chuyên
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8 Hình trụ - hình nón - hình cầu
Trắc nghiệm Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
Đề bài
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \) là:
-
A.
$5-2\sqrt 5$
-
B.
$4$
-
C.
$2+2\sqrt 5$
-
D.
$1$
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \) với \(a > 0\) ta được
-
A.
$\sqrt a $
-
B.
$4\sqrt a $
-
C.
$2\sqrt a $
-
D.
$ - \sqrt a $
Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là
-
A.
$4$
-
B.
$5$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
-
A.
$14\sqrt a + a\sqrt a $
-
B.
$14\sqrt a - a\sqrt a $
-
C.
$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
-
D.
$20\sqrt a - 2a\sqrt a $
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
-
A.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = a$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
B.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
C.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = ab$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
D.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = a - b$ với $a - b > 0,b \ne 0$
Chọn khẳng định đúng?
-
A.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - 3a}}{2}$
-
B.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{3a}}{2}$
-
C.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - a}}{2}$
-
D.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{a}{2}$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
-
A.
$\dfrac{9}{2}$
-
B.
$\dfrac{9}{4}$
-
C.
$9$
-
D.
$18$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
-
A.
$4$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$1$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
-
A.
$4 + 3\sqrt 2 $
-
B.
$4 - 3\sqrt 2 $
-
C.
$3$
-
D.
$3\sqrt 2 $
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
-
A.
$P > 4$
-
B.
$P < 4$
-
C.
$P = 4$
-
D.
$P \le 4$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.
Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$4$
Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.
-
A.
\(B > A > 0\)
-
B.
\(A < B < 0\)
-
C.
\(A < 0 < B\)
-
D.
\(B < 0 < A\)
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Tìm $x$ để $A = 2$.
-
A.
$12$
-
B.
$4$
-
C.
$16$
-
D.
$25$
Rút gọn biểu thức $A$ ta được
-
A.
$A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
B.
$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
C.
$A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
D.
$A = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}$
Cho biểu thức
$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Tìm giá trị lớn nhất của $B$
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$\dfrac{1}{4}$
Tìm $x$ để $B > 0$
-
A.
$x > 1$
-
B.
$x < 2$
-
C.
$0 < x < 1$
-
D.
$x \le 1$
Rút gọn biểu thức $B$ ta được
-
A.
$B = x - \sqrt x $
-
B.
$B = \sqrt x - x$
-
C.
$B = \sqrt x + x$
-
D.
$B = x + 2\sqrt x $
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$
với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.
Tìm $x$ để $C < 1$
-
A.
$0 \le x < 9$
-
B.
$0 \le x < 9;x \ne 4$
-
C.
$4 < x < 9$
-
D.
$0 < x < 4$
Rút gọn biểu thức $C$ ta được
-
A.
$C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}$
-
B.
$C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}$
-
C.
$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$
-
D.
$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
-
A.
\(x = 1;x = 36\)
-
B.
\(x = 16\)
-
C.
\(x = 4;x = 6\)
-
D.
\(x = 16; x = 36\)
Rút gọn P.
-
A.
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
-
B.
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
-
C.
\(P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
-
D.
\(P = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)
-
A.
\(A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}\)
-
B.
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}\)
-
C.
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}\)
-
D.
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\)
Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)
-
A.
\(T = \left( {\sqrt a + 1} \right)\).
-
B.
\(T = \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
-
C.
\(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a + 1} \right)\).
-
D.
\(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
Lời giải và đáp án
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \) là:
-
A.
$5-2\sqrt 5$
-
B.
$4$
-
C.
$2+2\sqrt 5$
-
D.
$1$
Đáp án : A
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
-Cộng trừ các căn thức bậc hai.
\(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)\( = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)
\(= \left| {4 - \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5 - 1} \right| \)
\(= 4 - \sqrt 5 - \sqrt 5 + 1 =5-2\sqrt 5 \)
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : B
-Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).
-Cộng trừ các căn thức
\(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \)\( = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} - 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} \)
\(= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 = 0\)
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \) với \(a > 0\) ta được
-
A.
$\sqrt a $
-
B.
$4\sqrt a $
-
C.
$2\sqrt a $
-
D.
$ - \sqrt a $
Đáp án : D
-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)
-Cộng trừ các căn thức bậc hai.
\(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \)\( = 5\sqrt a + 2.\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt 4 }} - a\dfrac{{\sqrt {4a} }}{a} - 5\sqrt a \)\( = 5\sqrt a + \sqrt a - 2\sqrt a - 5\sqrt a \)
\( = - \sqrt a \)
Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là
-
A.
$4$
-
B.
$5$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : D
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
\(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \)
\(=\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + 2} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right|\)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right) = 5 - 2 = 3\)
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
-
A.
$14\sqrt a + a\sqrt a $
-
B.
$14\sqrt a - a\sqrt a $
-
C.
$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
-
D.
$20\sqrt a - 2a\sqrt a $
Đáp án : A
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)
-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
-Cộng trừ các căn thức bậc hai.
Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $
$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
-
A.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = a$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
B.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
C.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = ab$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
D.
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = a - b$ với $a - b > 0,b \ne 0$
Đáp án : B
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\)
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Ta có $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = \dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)}} = \left| a \right|$
Học sinh thường quên dấu giá trị tuyệt đối khi sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) dẫn đến sai dấu kết quả.
Chọn khẳng định đúng?
-
A.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - 3a}}{2}$
-
B.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{3a}}{2}$
-
C.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - a}}{2}$
-
D.
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{a}{2}$
Đáp án : B
- Sử dụng đưa thừa số ra ngoài dấu căn theo công thức $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|.B\,\,\left( {B \ge 0} \right)$, công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)$ và nhóm nhân tử chung để có thể rút gọn phân số trước khi quy đồng.
-Quy đồng mẫu số và cộng trừ các căn thức
Ta có $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 2 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4.2} - 2}} - \dfrac{{\sqrt {36.6} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2 - 2}} - \dfrac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) $
$= \left( { - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$= \dfrac{{3a}}{2}$
Học sinh thường quy đồng mẫu số luôn dẫn đến mất thời gian và dễ nhầm đáp án.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
-
A.
$\dfrac{9}{2}$
-
B.
$\dfrac{9}{4}$
-
C.
$9$
-
D.
$18$
Đáp án : A
-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính
Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9 + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
-
A.
$4$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$1$
Đáp án : B
-Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức
-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính
Ta có $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$.$ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$
Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\sqrt 3 + 2}} = 2$.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
-
A.
$4 + 3\sqrt 2 $
-
B.
$4 - 3\sqrt 2 $
-
C.
$3$
-
D.
$3\sqrt 2 $
Đáp án : A
- Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.
- Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.
Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 $$ = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$
$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$
Thay $\sqrt x = \sqrt 2 + 1$ vào biểu thức $P$ ta được
$P = \dfrac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 - 1}}$
$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} $
$= 4 + 3\sqrt 2 $
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
-
A.
$P > 4$
-
B.
$P < 4$
-
C.
$P = 4$
-
D.
$P \le 4$
Đáp án : A
- Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A - B$ với số $0$.
Nếu $A - B > 0 $ thì $ A > B$, nếu $A - B < 0 $ thì $ A < B$
-Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.
Ta xét $P - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$$ = \dfrac{{\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 1}}{{\sqrt x }}$
Vì ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\forall x > 0$ và $\sqrt x > 0,\,\forall x > 0$ nên $P - 4 > 0 $ hay $ P > 4$ với $x > 0$.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : A
Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết
Với $x \ge 0$ ta có $P = \sqrt x $
$ \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x $
$ \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}$
Suy ra $ 3\sqrt x - 1 = x + \sqrt x $
$ x - 2\sqrt x + 1 = 0 $
$ {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 $
$ \sqrt x = 1 $
$ x = 1\,\left( {TM} \right)$
Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.
Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$4$
Đáp án : B
Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z}$ khi $ a \vdots b$
Ta có để $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$ thì $2 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)$
$ \left( {\sqrt x + 1} \right) \in $Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}$
Mà $\sqrt x + 1 > 0$ với $x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \in \left\{ {1;2} \right\}$
+) $\sqrt x + 1 = 1 $ hay $ x = 0$ (TM )
+) $\sqrt x + 1 = 2 $ hay $ x = 1$ (TM )
Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.
Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.
-
A.
\(B > A > 0\)
-
B.
\(A < B < 0\)
-
C.
\(A < 0 < B\)
-
D.
\(B < 0 < A\)
Đáp án : C
- Tính giá trị \(A\) và \(B\) rồi so sánh.
- Sử dụng \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A,B \ge 0} \right);\)\(\dfrac{1}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{\sqrt A + B}}{{A - {B^2}}}\,\left( {A \ge 0;A \ne {B^2}} \right)\)
Ta có: \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }} \)\(= \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} - \sqrt {9.3} + \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)
\( = \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - 3\sqrt 3 + \sqrt 3 \)\( = \dfrac{{\sqrt 3 + 1 - 4\sqrt 3 }}{2}\)\( = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2}\)
Và \(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} \)\(= \dfrac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt 5 \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\( = \dfrac{{3\sqrt 5 - 5}}{1} + \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{4} - \dfrac{{9\sqrt 5 - 15}}{4} \)\(= \dfrac{{12\sqrt 5 - 20 + 5 + \sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 15}}{4} = \sqrt 5 \)
Ta thấy \(A = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2} < 0\,\left( {do\,1 - 3\sqrt 3 < 0} \right)\) và \(B = \sqrt 5 > 0\) nên \(A < 0 < B\).
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
Ta đánh giá giá trị của \(A\) sau đó chọn ra các giá trị nguyên \(A\) có thể đạt được, từ đó tìm \(x.\)
Ta có: \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}\)
Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \) hay \(\sqrt x + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\)
suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} < 2\) hay \(A < 2\) (1)
Lại có: \(\sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{5}{2}\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \ge 2 - \dfrac{5}{2} \) hay \( A \ge - \dfrac{1}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \( - \dfrac{1}{2} \le A < 2\) mà \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}\)
+ Với \(A = 0 \) hay \( \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0 \)
\(\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = 0 \\ \sqrt x = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)\)
+ Với \(A = 1 \) hay \(\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 \)
\(\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = \sqrt x + 2 \\ \sqrt x = 3 \\ x = 9\left( {tm} \right)\)
Vậy với \(x = \dfrac{1}{4};x = 9\) thì \(A\) đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Tìm $x$ để $A = 2$.
-
A.
$12$
-
B.
$4$
-
C.
$16$
-
D.
$25$
Đáp án: C
- Sử dụng kết quả câu trước $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
- Cho $A=2$ rồi quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo để đưa phương trình về dạng cơ bản đã biết
Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
Xét $A = 2$
$ \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 2 \\\Rightarrow 3\sqrt x = 2\left( {\sqrt x + 2} \right)\\ \sqrt x = 4 $
$ x = 16\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy $x = 16$.
Rút gọn biểu thức $A$ ta được
-
A.
$A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
B.
$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
C.
$A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
D.
$A = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}$
Đáp án: A
- Xác định mẫu thức chung
- Quy đồng mẫu thức các phân thức
- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng
Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết
Ta có $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$
$ = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
Vậy $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Cho biểu thức
$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Tìm giá trị lớn nhất của $B$
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$\dfrac{1}{4}$
Đáp án: D
Thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về hằng đẳng thức để đánh giá.
Ta có $B = \sqrt x - x$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Khi đó $B = \sqrt x - x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = \dfrac{1}{4} - \left( {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
Nhận thây $\dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Dấu “=” xảy ra khi
$\sqrt x - \dfrac{1}{2} = 0 $
$ \sqrt x = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{4}$.
Tìm $x$ để $B > 0$
-
A.
$x > 1$
-
B.
$x < 2$
-
C.
$0 < x < 1$
-
D.
$x \le 1$
Đáp án: C
-Đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp
-So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm
Theo câu trước ta có $B = \sqrt x - x$.
Xét $B > 0$ hay
$\sqrt x - x > 0 \\ \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0$
Với $x \ge 0$, $x \ne 1$ ta có $\sqrt x \ge 0$ nên
$\sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \\ \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt x > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x < 1\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ne 0\end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện ta có $0 < x < 1$.
Học sinh khi giải bất phương trình thường quên kết hợp điều kiện ban đầu dẫn đến sai nghiệm.
Rút gọn biểu thức $B$ ta được
-
A.
$B = x - \sqrt x $
-
B.
$B = \sqrt x - x$
-
C.
$B = \sqrt x + x$
-
D.
$B = x + 2\sqrt x $
Đáp án: B
- Xác định mẫu thức chung
- Quy đồng mẫu thức các phân thức
-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng
Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết
Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}$
$ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$
$ = \dfrac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x - x$
Vậy $B = \sqrt x - x$.
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$
với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.
Tìm $x$ để $C < 1$
-
A.
$0 \le x < 9$
-
B.
$0 \le x < 9;x \ne 4$
-
C.
$4 < x < 9$
-
D.
$0 < x < 4$
Đáp án: B
- Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình
-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Theo câu trước ta có $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$
Để $C < 1$
$\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} < 1 \\ \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \\ \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}} < 0$
Mà $4 > 0$ nên $\sqrt x - 3 < 0 $ hay $\sqrt x < 3 \Rightarrow x < 9$
Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ suy ra $0 \le x < 9;x \ne 4$.
Rút gọn biểu thức $C$ ta được
-
A.
$C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}$
-
B.
$C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}$
-
C.
$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$
-
D.
$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$
Đáp án: C
-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử
-Quy đồng mẫu thức các phân thức.
-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.
Ta có $x - 5\sqrt x + 6 = x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right) = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)$ nên
$C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$
$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$
$ = \dfrac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$
Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
-
A.
\(x = 1;x = 36\)
-
B.
\(x = 16\)
-
C.
\(x = 4;x = 6\)
-
D.
\(x = 16; x = 36\)
Đáp án: D
Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Đưa P về dạng \(P = a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}}\left( {a;m \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > - 1\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x - 3} \right) \in Ư\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)
Từ (1) suy ra
\( \begin{array}{l}\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Nhận thấy với \(x=16;x=36\) vẫn thỏa mãn (2).
Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì P nguyên dương.
Rút gọn P.
-
A.
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
-
B.
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
-
C.
\(P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
-
D.
\(P = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
Đáp án: A
- Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\)
Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)
-
A.
\(A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}\)
-
B.
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}\)
-
C.
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}\)
-
D.
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\)
Đáp án : D
Sử dụng: \(\dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \)\(= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\)
Ta có: \(k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)\) với \(k \ge 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}\)
Thay lại vào A ta được:
\(A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}\)\( + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)\(= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \)\(+ ..... + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)\)\(= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}\)
Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)
-
A.
\(T = \left( {\sqrt a + 1} \right)\).
-
B.
\(T = \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
-
C.
\(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a + 1} \right)\).
-
D.
\(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
Đáp án : D
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.
\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\,\,\,\,\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\\ = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\end{array}\)
Vậy \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Căn bậc ba Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó chương 1 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 1 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6,7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3,4: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Căn thức bậc hai Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 8 Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Toán 9
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 7 Toán 9
Danh sách bình luận