-
Khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1 Căn bậc hai - Căn bậc ba
-
Chương 2 Hàm số bậc nhất
-
Chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
- Bài 5,6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình
- Bài tập ôn tập chương 3
-
Chương 4 Hàm số y=ax^2. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2
- Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
- Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
- Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Hệ phương trình đối xứng
- Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol
- Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et
- Bài tập ôn tập chương 4
-
Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
-
Chương 6 Đường tròn
- Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7,8: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập hay và khó chương đường tròn
- Bài tập ôn tập chương 6
-
Chương 7 Góc với đường tròn
- Bài 1: Góc ở tâm- Số đo cung
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6: Cung chứa góc
- Bài 7: Tứ giác nội tiếp
- Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn
- Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn
- Bài tập vận dụng cao từ các đề thi chuyên
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8 Hình trụ - hình nón - hình cầu
Trắc nghiệm Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9
Đề bài
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó
-
A.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
-
B.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
-
C.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
-
D.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?
-
A.
${x^2} - Px + S = 0$
-
B.
${x^2} - Sx + P = 0$
-
C.
$S{x^2} - x + P = 0$
-
D.
${x^2} - 2Sx + P = 0$
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$
-
A.
$\dfrac{1}{6}$
-
B.
$3$
-
C.
$6$
-
D.
$7$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$
-
A.
$20$
-
B.
$21$
-
C.
$22$
-
D.
$23$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$
-
A.
$9000$
-
B.
$2090$
-
C.
$2009$
-
D.
$9020$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$
-
A.
$6$
-
B.
$2$
-
C.
$5$
-
D.
$4$
Biết rằng phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$. Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$.
-
A.
${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
-
B.
${x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
-
C.
${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
-
D.
${x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.
-
A.
${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$
$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
-
B.
${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$
$A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
-
C.
${x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$
$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x - \dfrac{5}{{18}}} \right)$
-
D.
${x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$
$A = 18\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$
-
A.
$8$
-
B.
$12$
-
C.
$9$
-
D.
$10$
Lập phương trình nhận hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ làm nghiệm.
-
A.
${x^2} - 6x - 4 = 0$
-
B.
${x^2} - 6x + 4 = 0$
-
C.
${x^2} + 6x + 4 = 0$
-
D.
$ - {x^2} - 6x + 4 = 0$
Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).
-
A.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$
-
B.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = - 5$
-
C.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 5$
-
D.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
-
A.
$m < 2$
-
B.
$m > 2$
-
C.
$m = 2$
-
D.
$m > 0$
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt.
-
A.
$m < 2$ và $m \ne 1$
-
B.
$m < 3$
-
C.
$m <2$
-
D.
$m > 0$
Tìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt
-
A.
$m \in \left\{ { - 1;1;2;3} \right\}$
-
B.
$m \in \left\{ {1;2;3} \right\}$
-
C.
$m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$
-
D.
$m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
-
A.
$m < 0$
-
B.
$m > 1$
-
C.
$ - 1 < m < 0$
-
D.
$m > 0$
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 = - 1\).
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = 0$
-
D.
$m > - 1$
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 23\).
-
A.
$m = - 2$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = - 3$
-
D.
$m = - 4$
Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của \(m\)để phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\).
-
A.
$416$
-
B.
$415$
-
C.
$414$
-
D.
$418$
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) và biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = 2$
-
D.
$m = 3$
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1}) < 4\)
-
A.
$m > 1$
-
B.
$m < 0$
-
C.
$m > 2$
-
D.
$m < 3$
Cho phương trình \({x^2} + mx + n - 3 = 0\). Tìm m và n để hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) của phương trình thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 1\\x_1^2 - x_2^2 = 7\end{array} \right.\)
-
A.
\(m = 7\,\,;\,\,\,n = - 15\)
-
B.
\(m = 7\,\,;\,\,\,n = 15\)
-
C.
\(m = - 7\,\,;\,\,\,n = 15\)
-
D.
\(m = - 7\,\,;\,\,\,n = - 15\)
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 1 = 0\), (\(m\) là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
-
A.
\(m = 1\,;\,\,m = 2\)
-
B.
\(m = - 1\,;\,\,m = - 2\)
-
C.
\(m = 1\,;\,\,m = - 2\)
-
D.
\(m = - 1\,;\,\,m = 2\)
Tìm \(a, b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 4x + 5\) và cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
-
A.
\(a = 4\,;\,\,b = - 1\)
-
B.
\(a = 4\,;\,\,b = - 2\)
-
C.
\(a = 4\,;\,\,b = - 3\)
-
D.
\(a = 4\,;\,\,b = 2\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = - 3\).
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = - 1\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số.
Giải phương trình với \(m = - 1\).
-
A.
\(S = \left \{ - 1; - 5 \right \}\)
-
B.
\(S = \left \{ 1; 5 \right \}\)
-
C.
\(S = \left \{ - 1; 5 \right \}\)
-
D.
\(S = \left \{ 1; - 5 \right \}\)
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
-
A.
\(m = \dfrac{10}{3}\)
-
B.
\(m = - \dfrac{10}{3}\)
-
C.
\(m = - \dfrac{8}{3}\)
-
D.
\(m = \dfrac{8}{3}\)
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
-
A.
\(m = - \dfrac{41}{3}\)
-
B.
\(m = - \dfrac{43}{3}\)
-
C.
\(m = \dfrac{43}{3}\)
-
D.
\(m = \dfrac{41}{3}\)
Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0\) (1) (\(m\) là tham số).
Giải phương trình (1) khi \(m = - 2\).
-
A.
\(S = \left \{ 1; - 3 \right \}\)
-
B.
\(S = \left \{ - 1; - 3 \right \}\)
-
C.
\(S = \left \{ - 1; 3 \right \}\)
-
D.
\(S = \left \{ 1; 3 \right \}\)
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:
\(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\)
-
A.
\(m = 2020\)
-
B.
\(m = 2019\)
-
C.
\(m = 2021\)
-
D.
\(m = 2022\)
Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*), với \(m\) là tham số
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (*) có nghiệm
-
A.
\(m < 2\)
-
B.
\(m > 2\)
-
C.
\(m \le 2\)
-
D.
\(m \ge 2\)
Tính theo \(m\) giá trị của biểu thức \(A = x_1^3 + x_2^3\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Cho phương trình ẩn x: \({x^2} - 5x + \left( {m - 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).
Giải phương trình (1) với \(m = 6\).
-
A.
\(S = \left\{ { - 1;4} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ {1;4} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ {1; - 4} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 1; - 4} \right\}\)
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\).
-
A.
\(m = 2\)
-
B.
\(m = 4\)
-
C.
\(m = 1\)
-
D.
\(m = 6\)
Cho phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
\(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}\)
-
A.
\(\dfrac{{2020}}{{2021}}\)
-
B.
\(\dfrac{{2021}}{{2020}}\)
-
C.
\( - \dfrac{{2020}}{{2021}}\)
-
D.
\( - \dfrac{{2021}}{{2020}}\)
\(x_1^2 + x_2^2\)
-
A.
\(4080401\)
-
B.
\(4088481\)
-
C.
\(4076358\)
-
D.
\(4084442\)
Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức
\(\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\)
-
A.
\(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \)
-
B.
\(m = - 2 \pm 2\sqrt 2 \)
-
C.
\(m = \pm 2\)
-
D.
\(m = \pm 1\)
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0.\)
-
A.
\(m \le \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\(m \ge \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(m \le - \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\(m \ge - \dfrac{3}{2}\)
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m - 2.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 3\).
-
A.
\(2 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
B.
\(1 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
C.
\( - 1 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
D.
\( - 2 < m < \dfrac{9}{4}\)
Cho phương trình \({x^2} + 4x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\)là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right).\)
-
A.
\(m = 1,\,\,m = - 1\)
-
B.
\(m = 2,\,\,m = - 2\)
-
C.
\(m = 3,\,\,m = - 3\)
-
D.
\(m = 4,\,\,m = - 4\)
Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)
-
A.
\(b = 1\,\,;\,\,c = - 6\)
-
B.
\(b = - 1\,\,;\,\,c = 6\)
-
C.
\(b = 1\,\,;\,\,c = 6\)
-
D.
\(b = - 1\,\,;\,\,c = - 6\)
Cho phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\). Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2} < 6\).
-
A.
\(m < 6\)
-
B.
\(m > 4\)
-
C.
\(4 \le m \le 6\)
-
D.
\(4 < m < 6\)
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
-
A.
\( m = 0\)
-
B.
\( m = - 1\)
-
C.
\( m = 1\)
-
D.
\( m = 2\)
Lời giải và đáp án
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
Đáp án : A
Dựa vào kiến thức về hệ thức Viète
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó
-
A.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
-
B.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
-
C.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
-
D.
Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Đáp án : C
+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?
-
A.
${x^2} - Px + S = 0$
-
B.
${x^2} - Sx + P = 0$
-
C.
$S{x^2} - x + P = 0$
-
D.
${x^2} - 2Sx + P = 0$
Đáp án : B
Dựa vào kiến thức về tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ (Điều kiện để có hai số đó là ${S^2} - 4P \ge 0$)
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$
-
A.
$\dfrac{1}{6}$
-
B.
$3$
-
C.
$6$
-
D.
$7$
Đáp án : C
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo định lí Viète, ta có ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{{ - 6}}{1} = 6$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$
-
A.
$20$
-
B.
$21$
-
C.
$22$
-
D.
$23$
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để biến đổi $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$
Phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{-(-5)}{1} = 5\\{x_1}.{x_2} = \frac{2}{1} = 2\end{array} \right.\).
Ta có $A = x_1^2 + x_2^2 = \left(x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2\right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2.2 = 21$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$
-
A.
$9000$
-
B.
$2090$
-
C.
$2009$
-
D.
$9020$
Đáp án : D
Bước 1: Sử dụng định lí Viète:
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Bước 2: Biến đổi biểu thức $C$ để sử dụng được định lí Viète.
Phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$ có $\Delta = 468 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 20\\{x_1}.{x_2} = - 17\end{array} \right.\).
Ta có:
\(C=x_1^3+x_2^3\)
$= x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - 3x_1^2{x_2} - 3{x_1}x_2^2$
$=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
$= {20^3} - 3.\left( { - 17} \right).20 = 9020$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$
-
A.
$6$
-
B.
$2$
-
C.
$5$
-
D.
$4$
Đáp án : A
Bước 1: Sử dụng định lí Viète
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Bước 2: Biến đổi biểu thức $N$ để sử dụng được định lí Viète.
Phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 28 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$
Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).
Ta có:
$N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}} \\= \dfrac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}} \\= \dfrac{{ - 3 + 6}}{{\dfrac{1}{2} + 3.\left( { - 3} \right) + 9}}$$ = 6$
Biết rằng phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$. Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$.
-
A.
${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
-
B.
${x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
-
C.
${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
-
D.
${x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$
Đáp án : C
Sử dụng cách nhẩm nghiệm:
Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$.
+) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
Phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0$ có $a = m - 2;b = - 2m - 5;c = m + 7$
Vì $a + b + c = m - 2 - 2m - 5 + m + 7 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m - 2}}$.
Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.
-
A.
${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$
$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
-
B.
${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$
$A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
-
C.
${x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$
$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x - \dfrac{5}{{18}}} \right)$
-
D.
${x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$
$A = 18\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
Đáp án : A
Bước 1 : Tìm hai nghiệm của phương trình đã cho
Bước 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng
Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$
Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}}$. Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.
Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$
-
A.
$8$
-
B.
$12$
-
C.
$9$
-
D.
$10$
Đáp án : C
Để tìm hai số $u,v$ khi biết tổng $S = u + v$ và tích $P = uv$, ta làm như sau:
+ Xét điều kiện ${S^2} - 4P \ge 0$. Giải phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ để tìm các nghiệm ${x_1},{x_2}$.
+ Khi đó các số cần tìm $u,v$ là $u = {x_1},v = {x_2}$ hoặc $u = {x_2},v = {x_1}$.
Ta có $S = u + v = 15,P = uv = 36$ .
Vì ${S^2} - 4P = 225 - 144 = 81> 0$ nên $u,v$ là hai nghiệm của phương trình
${x^2} - 15x + 36 = 0$
$\left( {x - 12} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$
$x - 12 = 0$ hoặc $x - 3 = 0$
$x = 12$ hoặc $x = 3$
Vậy $u = 12;v = 3$ (vì $u > v$) nên $u - v = 12 - 3 = 9$.
Lập phương trình nhận hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ làm nghiệm.
-
A.
${x^2} - 6x - 4 = 0$
-
B.
${x^2} - 6x + 4 = 0$
-
C.
${x^2} + 6x + 4 = 0$
-
D.
$ - {x^2} - 6x + 4 = 0$
Đáp án : B
Bước 1: Tìm tổng $S$ và tích $P$ của hai nghiệm.
Bước 2: Hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ (ĐK: ${S^2} - 4P \ge 0$)
Ta có $S = 3 - \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 = 6$ và $P = \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 4$
Vì ${S^2} - 4P = 36 - 16 = 20 > 0$ nên hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x + 4 = 0$.
Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).
-
A.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$
-
B.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = - 5$
-
C.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 5$
-
D.
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$
Đáp án : D
- Sử dụng định lí Viète: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
-Biến đổi hệ thức thu được (dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế…) để triệt tiêu tham số.
Theo định lí Viète, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2a - 1\\{x_1} \cdot {x_2} = - 4a - 3\end{array} \right.\)
$\left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4a - 2\\{x_1}.{x_2} = - 4a - 3\end{array} \right.$
Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ với nhau, ta được:
$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$
Vậy hệ thức cần tìm là $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = - 5$.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
-
A.
$m < 2$
-
B.
$m > 2$
-
C.
$m = 2$
-
D.
$m > 0$
Đáp án : B
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\).
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\)$\left( {a = 1;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = - m + 2} \right)$
Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 2$
Vậy $m > 2$ là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt.
-
A.
$m < 2$ và $m \ne 1$
-
B.
$m < 3$
-
C.
$m <2$
-
D.
$m > 0$
Đáp án : A
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt khi \(\Delta > 0\) (\(\Delta ' > 0\)), \(P > 0\) và \(S < 0\).
Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có $ {a = 1;b' = - \left( {m - 3} \right);c = 8 - 4m} $
Ta có $\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {8 - 4m} \right) $$= {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}$;
Áp dụng định lí Viète, ta có: $S = {x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 3} \right);$$P = {x_1}.{x_2} = 8 - 4m$
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi:
+) \(\Delta ' > 0\) hay \({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\) suy ra \(m \ne 1\)
+) $S = {x_1} + {x_2} < 0$ hay $2\left( {m - 3} \right) < 0$ suy ra $m < 3$
+) $P = {x_1}.{x_2} > 0$ hay $8 - 4m > 0$ suy ra \(m < 2\)
Kết hợp 3 điều kiện trên, ta được \(m \ne 1\) và \(m < 2\)
Vậy $m < 2$ và $m \ne 1$ là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt
-
A.
$m \in \left\{ { - 1;1;2;3} \right\}$
-
B.
$m \in \left\{ {1;2;3} \right\}$
-
C.
$m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$
-
D.
$m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$
Đáp án : D
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\).
Phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\)$\left( {a = 1;b' = - 3;c = 2m + 1} \right)$
Ta có $\Delta ' = 9 - 2m - 1 = 8 - 2m$; $S = {x_1} + {x_2} = 6;P = {x_1}.{x_2} = 2m + 1$
Vì $a = 1 \ne 0$nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\)$\left\{ \begin{array}{l}8 - 2m > 0\\6 > 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m > - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < m < 4$ mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$
Vậy $m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
-
A.
$m < 0$
-
B.
$m > 1$
-
C.
$ - 1 < m < 0$
-
D.
$m > 0$
Đáp án : C
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó phương trình có hai nghiệm cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\)$\left( {a = m;b = - 2\left( {m - 2} \right);c = 3\left( {m - 2} \right)} \right)$
Ta có $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) = - 2{m^2} + 2m + 4 = \left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right)$; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {4 - 2m} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\\dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow - 1 < m < 0$
Vậy $ - 1 < m < 0$ là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 = - 1\).
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = 0$
-
D.
$m > - 1$
Đáp án : B
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2}$$ \ge 0;\forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = - m - 1\end{array} \right.$
Xét \(x_1^3 + x_2^3 = - 1\)$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow {m^3} - 3m\left( { - m - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow {m^3} + 3{m^2} + 3m + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow m = - 1$
Vậy $m = - 1$ là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 23\).
-
A.
$m = - 2$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = - 3$
-
D.
$m = - 4$
Đáp án : C
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 25 - 4\left( {m + 4} \right) = 9 - 4m$
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}$.
Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.$
Xét \(x_1^2 + x_2^2 = 23\)$ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 23 \Leftrightarrow 25 - 2m - 8 = 23 \Leftrightarrow m = - 3\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy $m = - 3$ là giá trị cần tìm.
Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của \(m\)để phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\).
-
A.
$416$
-
B.
$415$
-
C.
$414$
-
D.
$418$
Đáp án : D
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 9 + 4m$
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{4}$.
Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = - m\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Xét \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\)$ \Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2}$ thế vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{13 - 3{x_2}}}{2} + {x_2} = - 3 \Leftrightarrow {x_2} = 19 \Rightarrow {x_1} = - 22$
Từ đó phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $ - 19.22 = - m \Leftrightarrow m = 418$ (nhận)
Vậy $m = 418$ là giá trị cần tìm.
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) và biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = 2$
-
D.
$m = 3$
Đáp án : B
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = {\left( {4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} + 33 > 0;\forall m$
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 8\end{array} \right.$
Xét \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} + 33 \ge 33\)
Dấu “=” xảy ra khi $m = 0$
Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1}) < 4\)
-
A.
$m > 1$
-
B.
$m < 0$
-
C.
$m > 2$
-
D.
$m < 3$
Đáp án : A
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Phương trình \({x^2} - 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0\) có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 2m + 5 = {m^2} - 6m + 9 = {\left( {m - 3} \right)^2} \ge 0;\forall m$
Nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 4\\{x_1}.{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.$
Xét \({x_1}(1 - {x_2}) + {x_2}(1 - {x_1}) < 4\)$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} - 4 < 0 \Leftrightarrow 2m - 4 - 2\left( {2m - 5} \right) - 4 < 0$ $ \Leftrightarrow - 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1$
Vậy $m > 1$ là giá trị cần tìm.
Cho phương trình \({x^2} + mx + n - 3 = 0\). Tìm m và n để hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) của phương trình thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 1\\x_1^2 - x_2^2 = 7\end{array} \right.\)
-
A.
\(m = 7\,\,;\,\,\,n = - 15\)
-
B.
\(m = 7\,\,;\,\,\,n = 15\)
-
C.
\(m = - 7\,\,;\,\,\,n = 15\)
-
D.
\(m = - 7\,\,;\,\,\,n = - 15\)
Đáp án : C
Sử dụng biểu thức \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}\). Từ đó tìm điều kiện của m và n.
\(\Delta = {m^2} - 4(n - 3) = {m^2} - 4n + 12\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4n + 12 \ge 0\)
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - m\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = n - 3\,\,\,.\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = 1\\
x_1^2 - x_2^2 = 7
\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 1\\({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 - 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 12\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 3 = 12\\ - m = 7\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 7\\n = 15\end{array} \right.\)
Thử lại ta có: \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.15 + 12 = 1 > 0\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy \(m = - 7;\,\,n = 15.\)
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 1 = 0\), (\(m\) là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
-
A.
\(m = 1\,;\,\,m = 2\)
-
B.
\(m = - 1\,;\,\,m = - 2\)
-
C.
\(m = 1\,;\,\,m = - 2\)
-
D.
\(m = - 1\,;\,\,m = 2\)
Đáp án : C
Sử dụng hệ thức Vi-ét.
Để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m - 1 = 0\) (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow - m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow m < 2\end{array}\)
Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 1\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 2} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 3m - 1} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 2{m^2} - 6m + 2 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m + 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 2\).
Tìm \(a, b\) để đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 4x + 5\) và cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) phân biệt thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
-
A.
\(a = 4\,;\,\,b = - 1\)
-
B.
\(a = 4\,;\,\,b = - 2\)
-
C.
\(a = 4\,;\,\,b = - 3\)
-
D.
\(a = 4\,;\,\,b = 2\)
Đáp án : C
Sử dụng hệ thức Vi-ét
Vì đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = 4x + 5\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne 5\end{array} \right.\).
Khi đó phương trình đường thẳng cần tìm có dạng \(y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)\) và parabol \(y = {x^2}\):
\({x^2} = 4x + b \Leftrightarrow {x^2} - 4x - b = 0\,\,\left( * \right)\)
Để đường thẳng \(y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)\) cắt parabol \(y = {x^2}\) tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).
\( \Rightarrow \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} + b = 4 + b > 0 \Leftrightarrow b > - 4\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = - b\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {4^2} + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 16 + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 2b = - 6\\ \Leftrightarrow b = - 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(a = 4,\,\,b = - 3\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = - 3\).
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = - 1\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng hệ thức Vi-ét
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì:
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m \le 7\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{7}{2}\end{array}\)
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 6\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} - 2m{x_1} = - 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + {m^2} - 6 + 2{x_1} + 2{x_2} = {m^2} - 6 - 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + {m^2} - 6 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} - 9\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên \(x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + {m^2} - 6 = 0\), do đó
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} - 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2.\left( {2m - 2} \right) = {m^2} - 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m - 4 = {m^2} - 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} + m - 5m - 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) - 5\left( {m + 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 5} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\left( {tm} \right)\\m = 5\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - 1\).
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số.
Giải phương trình với \(m = - 1\).
-
A.
\(S = \left \{ - 1; - 5 \right \}\)
-
B.
\(S = \left \{ 1; 5 \right \}\)
-
C.
\(S = \left \{ - 1; 5 \right \}\)
-
D.
\(S = \left \{ 1; - 5 \right \}\)
Đáp án: D
Thay m=-1 vào rồi giải phương trình thu được.
Thay \(m = - 1\) vào phương trình đã cho ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 5x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 5} \right\}\).
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
-
A.
\(m = \dfrac{10}{3}\)
-
B.
\(m = - \dfrac{10}{3}\)
-
C.
\(m = - \dfrac{8}{3}\)
-
D.
\(m = \dfrac{8}{3}\)
Đáp án: B
Thay x=2 vào phương trình để tìm m.
Vì \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{{10}}{3}\end{array}\)
Vậy khi \(m = - \dfrac{{10}}{3}\) thì phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
-
A.
\(m = - \dfrac{41}{3}\)
-
B.
\(m = - \dfrac{43}{3}\)
-
C.
\(m = \dfrac{43}{3}\)
-
D.
\(m = \dfrac{41}{3}\)
Đáp án: B
Sử dụng định lý Vi-ét.
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {3m - 2} \right) = 4 - 3m + 2 = 6 - 3m\).
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).
Theo bài ra ta có: \({x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - 2{x_2}\).
Thế vào hệ (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{x_2} + {x_2} = - 4\\\left( {1 - 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 - 2.5} \right).5 = 3m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m - 2 = - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m = - \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - \dfrac{{43}}{3}\).
Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0\) (1) (\(m\) là tham số).
Giải phương trình (1) khi \(m = - 2\).
-
A.
\(S = \left \{ 1; - 3 \right \}\)
-
B.
\(S = \left \{ - 1; - 3 \right \}\)
-
C.
\(S = \left \{ - 1; 3 \right \}\)
-
D.
\(S = \left \{ 1; 3 \right \}\)
Đáp án: B
Thay m=-2 vào phương trình đã cho rồi giải phương trình thu được.
Thay \(m = - 2\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).
Nhận xét thấy \(a - b + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{c}{a} = - 3\end{array} \right.\).
Vậy khi \(m = - 2\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:
\(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\)
-
A.
\(m = 2020\)
-
B.
\(m = 2019\)
-
C.
\(m = 2021\)
-
D.
\(m = 2022\)
Đáp án: A
Sử dụng hệ thức Vi-ét
\(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\).
Phương trình (1) có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {4m - 5} \right) = {m^2} + 4m + 5 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\).
Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - 4m - 5\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} - 4m + 33 = 8118\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} - 4m = 8085\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2{x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} = 8085 - 5\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5} \right) + 2\left( {{x_1}{\kern 1pt} + {x_2}} \right) = 8080\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\).
Do đó:
\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8080\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2m = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = 2020\end{array}\)
Vậy \(m = 2020\).
Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*), với \(m\) là tham số
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình (*) có nghiệm
-
A.
\(m < 2\)
-
B.
\(m > 2\)
-
C.
\(m \le 2\)
-
D.
\(m \ge 2\)
Đáp án: C
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
Xét phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*) có:
\(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {m - 1} \right) = 2 - m\)
Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\2 - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\)
Vậy với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm.
Tính theo \(m\) giá trị của biểu thức \(A = x_1^3 + x_2^3\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Đáp án: B
Sử dụng hệ thức Vi-ét
Theo câu trước với \(m \le 2\) thì phương trình (*) có nghiệm \({x_1},{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)
Xét \(A = x_1^3 + x_2^3\)
\(\begin{array}{l} = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 - \left( {3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2} \right)\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ = {2^3} - 3\left( {m - 1} \right).2\\ = 8 - 6\left( {m - 1} \right)\\ = 8 - 6m + 6\\ = 14 - 6m\end{array}\)
Vậy \(A = 14 - 6m\)
Vì \(m \le 2\) nên ta có: \(6m \le 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 14 - 12 \Leftrightarrow 14 - 6m \ge 2\)
Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2 \Leftrightarrow m = 2\).
Cho phương trình ẩn x: \({x^2} - 5x + \left( {m - 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).
Giải phương trình (1) với \(m = 6\).
-
A.
\(S = \left\{ { - 1;4} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ {1;4} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ {1; - 4} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 1; - 4} \right\}\)
Đáp án: B
Thay m=6 vào phương trình rồi giải.
Với \(m = 6\) thì phương trình (1) trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) - \left( {4x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m = 6\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;4} \right\}\).
Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\).
-
A.
\(m = 2\)
-
B.
\(m = 4\)
-
C.
\(m = 1\)
-
D.
\(m = 6\)
Đáp án: D
Sử dụng hệ thức Vi-ét
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 5} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\5 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}33 - 4m > 0\\m > 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{{33}}{4}\).
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right) = 3\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) = 9{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 + 2\sqrt {m - 2} } \right) = 9\left( {m - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {m - 2} \right) - 8\sqrt {m - 2} - 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {m - 2} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình (*) trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,9{t^2} - 8t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} - 18t + 10t - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{t^2} - 18t} \right) + \left( {10t - 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9t\left( {t - 2} \right) + 10\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {9t + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\9t + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{10}}{9}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(t = 2\) \( \Rightarrow \sqrt {m - 2} = 2 \Leftrightarrow m - 2 = 4 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy \(m = 6\).
Cho phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\). Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
\(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}\)
-
A.
\(\dfrac{{2020}}{{2021}}\)
-
B.
\(\dfrac{{2021}}{{2020}}\)
-
C.
\( - \dfrac{{2020}}{{2021}}\)
-
D.
\( - \dfrac{{2021}}{{2020}}\)
Đáp án: A
Tính \(\Delta ' = {b^{'2}} - ac > 0\) chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)
Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho.
Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)
Ta có: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{2020}}{{2021}}.\)
\(x_1^2 + x_2^2\)
-
A.
\(4080401\)
-
B.
\(4088481\)
-
C.
\(4076358\)
-
D.
\(4084442\)
Đáp án: C
Tính \(\Delta ' = {b^{'2}} - ac > 0\) chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)
Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho.
Xét phương trình: \({x^2} - 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {1010^2} - 2021 = 1018079 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.\)
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) \( = {2020^2} - 2.2021 = 4076358\)
Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức
\(\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\)
-
A.
\(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \)
-
B.
\(m = - 2 \pm 2\sqrt 2 \)
-
C.
\(m = \pm 2\)
-
D.
\(m = \pm 1\)
Đáp án : A
Sử dụng hệ thức Vi-ét
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} \ne 1,\,\,{x_2} \ne 1\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 + 5 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\m + 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m < 33\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m \ne - 4\end{array} \right.\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}.{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1} + 1 + x_2^2 - 2{x_2} + 1 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Rightarrow 25 - 2\left( {m - 2} \right) - 2.\left( { - 5} \right) + 2 = {\left( {m - 2 + 5 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 - 2m + 4 + 10 + 2 = {\left( {m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2m + 41 = {m^2} + 8m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 25 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Ta có: \({\Delta _m} = {\left( { - 5} \right)^2} - \left( { - 25} \right) = 50 > 0\), do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
\(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{ - 10 + \sqrt {50} }}{2} = - 5 + 5\sqrt 2 \\{m_1} = \dfrac{{ - 10 - \sqrt {50} }}{2} = - 5 - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \).
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0.\)
-
A.
\(m \le \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\(m \ge \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(m \le - \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\(m \ge - \dfrac{3}{2}\)
Đáp án : A
Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm \(m.\)
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 2\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 + 2{x_1} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = - 2\left( {{x_1} - 2} \right)\end{array}\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 2\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m - 5 - 2\left( {2m - 2} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m - 1 - 4m + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2m \ge - 3\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Vậy \(m \le \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m - 2.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 3\).
-
A.
\(2 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
B.
\(1 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
C.
\( - 1 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
D.
\( - 2 < m < \dfrac{9}{4}\)
Đáp án : B
Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt hay \( \Delta > 0.\)
Áp dụng định lí Viète và hệ thức bài cho để tìm \(m.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right):\)
\( - {x^2} = x + m - 2\)
\({x^2} + x + m - 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta = 1 - 4\left( {m - 2} \right) = 9 - 4m\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: \(\Delta > 0\)
\(9 - 4m > 0\)
\(m < \dfrac{9}{4}\)
Với \(m < \dfrac{9}{4}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 < 3\)
\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} < 3\\ {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right) < 3\\1 - 2m + 4 < 3\\ 2m > 2\\ m > 1\end{array}\)
Kết hợp với điều kện \(m < \dfrac{9}{4}\) ta được: \(1 < m < \dfrac{9}{4}\) thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \({x^2} + 4x - m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (\(m\)là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right).\)
-
A.
\(m = 1,\,\,m = - 1\)
-
B.
\(m = 2,\,\,m = - 2\)
-
C.
\(m = 3,\,\,m = - 3\)
-
D.
\(m = 4,\,\,m = - 4\)
Đáp án : D
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) và hệ thức bài cho để tìm \(m\), đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình rồi kết luận.
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\) \( \Leftrightarrow 4 + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 4.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có: \(\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = 4\left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{m}\left[ {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 2m} \right] = 4\left( {m + 2} \right)\,\, & \,\left( {m \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {16 + 2m} \right)}}{m} = 4\left( {m + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 16 + 2m = m\left( {m + 2} \right) & \\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 4,\,\,m = - 4\) thỏa mãn bài toán.
Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)
-
A.
\(b = 1\,\,;\,\,c = - 6\)
-
B.
\(b = - 1\,\,;\,\,c = 6\)
-
C.
\(b = 1\,\,;\,\,c = 6\)
-
D.
\(b = - 1\,\,;\,\,c = - 6\)
Đáp án : D
Thay 2 nghiệm đã cho vào phương trình, giải hệ phương trình gồm hai ẩn \(b,\,\,c.\)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số để tìm ra \(b,c\).
Phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;{x_2} = 3\) nên thay hai giá trị đó vào phương trình sẽ thỏa mãn:
\( \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 2} \right)^2} - 2b + c = 0\\{3^2} + 3b + c = 0\end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l}2b - c = 4\\3b + c = - 9\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2b - c + 3b + c = 4 + \left( { - 9} \right)\\2b - c = 4\end{array} \right.\)
\( \left\{ \begin{array}{l}5b = - 5\\c = 2b - 4\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\c = - 6\end{array} \right.\)
Vậy \(b = - 1;c = - 6\) thì thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\). Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2} < 6\).
-
A.
\(m < 6\)
-
B.
\(m > 4\)
-
C.
\(4 \le m \le 6\)
-
D.
\(4 < m < 6\)
Đáp án : D
Sử dụng biểu thức \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm. Biến đổi điều kiện của đề bài bằng cách sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}\). Từ đó tìm điều kiện của m.
Xét phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\) có \(a = 1 \ne 0\) và \(\Delta = {(2m - 3)^2} - 4({m^2} - 3m) = 9 > 0\,\,\,\forall m\).
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt\({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\)
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m - 3\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\,\,\,.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}1 < {x_1} < {x_2} < 6 \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 1)({x_2} - 1) > 0\\{x_1} + {x_2} > 1\\({x_1} - 6)({x_2} - 6) > 0\\{x_1} + {x_2} < 12\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 > 0\\{x_1} + {x_2} > 1\\{x_1}{x_2} - 6({x_1} + {x_2}) + 36 > 0\\{x_1} + {x_2} < 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2m + 3 + 1 > 0\\2m - 3 > 1\\{m^2} - 3m - 6(2m - 3) + 36 > 0\\2m - 3 < 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 4 > 0\\2m > 4\\{m^2} - 15m + 54 > 0\\2m < 15\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 4\end{array} \right.\\m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m < 6\\m > 9\end{array} \right.\\m < \dfrac{{15}}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow 4 < m < 6\end{array}\)
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
-
A.
\( m = 0\)
-
B.
\( m = - 1\)
-
C.
\( m = 1\)
-
D.
\( m = 2\)
Đáp án : C
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi \( \Delta ' > 0\,.\)
Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)
Áp dụng biểu thức đề bài để tìm \(m.\) Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình rồi kết luận.
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \) khi \(\Delta ' > 0\)
Ta có: \( {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \) với mọi \( m \in \mathbb{R}\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2 \) suy ra \(x_1^3 - x_2^3 - \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 0\)
\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\)
\(x_1 - x_2 = 0\) hoặc \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\)
\({x_1} = {x_2}\) hoặc \({\left( {2m + 2} \right)^2} - 4m - 2m - 2 = 0\)
Suy ra \(\Delta ' = 0\) hoặc \(4{m^2} + 8m + 4 - 6m - 2 = 0\)
\((m - 1)^2 = 0\) hoặc \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\)
Mà phương trình \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\) vô nghiệm nên \(m - 1 = 0\)
Suy ra \(m = 1\)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Hệ phương trình đối xứng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 4 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 8 Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Toán 9
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 7 Toán 9
