-
Khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1 Căn bậc hai - Căn bậc ba
-
Chương 2 Hàm số bậc nhất
-
Chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
- Bài 5,6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình
- Bài tập ôn tập chương 3
-
Chương 4 Hàm số y=ax^2. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2
- Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
- Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
- Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Hệ phương trình đối xứng
- Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol
- Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et
- Bài tập ôn tập chương 4
-
Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
-
Chương 6 Đường tròn
- Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7,8: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập hay và khó chương đường tròn
- Bài tập ôn tập chương 6
-
Chương 7 Góc với đường tròn
- Bài 1: Góc ở tâm- Số đo cung
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6: Cung chứa góc
- Bài 7: Tứ giác nội tiếp
- Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn
- Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn
- Bài tập vận dụng cao từ các đề thi chuyên
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8 Hình trụ - hình nón - hình cầu
Trắc nghiệm Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm Toán 9
Đề bài
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn
-
A.
${x^2} - \sqrt x + 1 = 0$
-
B.
$2{x^2} - 2018 = 0$
-
C.
$x + \dfrac{1}{x} - 4 = 0$
-
D.
$2x - 1 = 0$
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
-
A.
$\Delta < 0$
-
B.
$\Delta = 0$
-
C.
$\Delta \ge 0$
-
D.
$\Delta \le 0$
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là
-
A.
${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$
-
B.
${x_1} = \dfrac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
-
C.
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
-
D.
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{a}$
Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình $6{x^2} - 7x = 0$.
-
A.
$ - \dfrac{7}{6}$
-
B.
$\dfrac{7}{6}$
-
C.
$\dfrac{6}{7}$
-
D.
$ - \dfrac{6}{7}$
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$3$
-
D.
$2$
Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.
-
A.
$\dfrac{1}{7}$
-
B.
$\dfrac{2}{7}$
-
C.
$\dfrac{6}{7}$
-
D.
$\dfrac{8}{7}$
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.
-
A.
$\Delta = 117$ và phương trình có nghiệm kép.
-
B.
$\Delta = - 117$ và phương trình vô nghiệm
-
C.
$\Delta = 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
D.
$\Delta = - 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
-
A.
m = 4
-
B.
m = - 4
-
C.
m < 4
-
D.
m > 4
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm các nghiệm (nếu có ) của phương trình ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$
-
A.
$\Delta = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \sqrt 2 $.
-
B.
$\Delta < 0$ và phương trình vô nghiệm
-
C.
$\Delta = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \sqrt 2 $.
-
D.
$\Delta > 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - \sqrt 2 ;{x_2} = \sqrt 2 $
Cho phương trình \({x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\,\left( {m \in \,R} \right).\) Tích \(P\) tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho không là phương trình bậc hai bằng
-
A.
\(P = \dfrac{1}{9}\)
-
B.
\(P = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(P = - \dfrac{1}{9}\)
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt .
-
A.
$m \ge 0$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m > 0$
-
D.
$m < 0$
Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có nghiệm kép.
-
A.
$m = 0;m = - 4$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = - 4$
-
D.
$m = 0;m = 4$
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) vô nghiệm
-
A.
$m = 0$
-
B.
Không tồn tại $m$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 1$
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\) vô nghiệm
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}m \ge 1 + \sqrt 2 \\m \le 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2 \\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
-
C.
$1 - \sqrt 2 \le m \le 1 + \sqrt 2 $
-
D.
$1 - \sqrt 2 < m < 1 + \sqrt 2 $
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có nghiệm.
-
A.
$m \ge 1$
-
B.
$m > 1$
-
C.
$m \ge - 1$
-
D.
$m \le - 1$
Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?
-
A.
Phương trình vô nghiệm với mọi $m$
-
B.
Phương trình có nghiệm kép với mọi $m$
-
C.
Phương trình hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
-
D.
Phương trình có nghiệm với mọi $m$
Biết rằng phương trình ${x^2} - {\rm{ }}2(3m + 2)x + {\rm{ }}2{m^2} - 3m - 10 = 0$
có một trong các nghiệm bằng $ - 1$. Tìm nghiệm còn lại với $m > 0$
-
A.
$x = 11$
-
B.
$x = - 11$
-
C.
$x = 10$
-
D.
$x = - 10$
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( * \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left( * \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.
-
A.
\(b = - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
-
B.
\(b = - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)
-
C.
\(b = 5;\,\,c = - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
-
D.
\(b = 5;\,\,c = - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)
Giải phương trình:
-
A.
\(S = \left\{ {1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
-
C.
\(S = \left\{ {1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)
-
A.
\(S = \left\{ { - 9;\,\,9} \right\}.\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}.\)
-
C.
\(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
-
D.
\(S = \left\{ { - \sqrt 3 ;\,\,\sqrt 3 } \right\}.\)
Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\), với m là tham số.
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(x = 3\)
-
A.
\(m \le \dfrac{7}{8}\)
-
B.
\(m \ge - \dfrac{7}{8}\)
-
C.
\(m \le - \dfrac{7}{8}\)
-
D.
\(m \ge \dfrac{7}{8}\)
Giải phương trình \(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}}\)
-
A.
\(x=\sqrt{2}\)
-
B.
\(x=\pm \sqrt{2}\)
-
C.
\(x=-\sqrt{2}\)
-
D.
\(x=2\)
Tìm m để parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - (m - 1)x + m + 2\) và đường thẳng \(d:y = 2x + 4\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
-
A.
\(\displaystyle m = - {4 \over 3}\)
-
B.
\(\displaystyle m = {4 \over 3}\)
-
C.
\(\displaystyle m = {3 \over 4}\)
-
D.
\(m \in R\)
Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x^2} + x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
\( - 2\)
Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\) nghiệm phương trình (2).
-
A.
\( - 45\)
-
B.
\( - 5\)
-
C.
\(0\) và \( - 5\)
-
D.
Đáp án khác
Cho hai phương trình \({x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + \left( {{m^2} - m} \right)x + 9\sqrt 2 - 30 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số).
Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung \(x = 3\).
-
A.
\(m = \sqrt 2\)
-
B.
\(m=1\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = \sqrt 2-1\)
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8\)
-
A.
Phương trình vô nghiệm
-
B.
1 nghiệm
-
C.
2 nghiệm
-
D.
3 nghiệm
Lời giải và đáp án
Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn
-
A.
${x^2} - \sqrt x + 1 = 0$
-
B.
$2{x^2} - 2018 = 0$
-
C.
$x + \dfrac{1}{x} - 4 = 0$
-
D.
$2x - 1 = 0$
Đáp án : B
Dựa vào khái niệm phương trình bậc hai một ẩn.
Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
-
A.
$\Delta < 0$
-
B.
$\Delta = 0$
-
C.
$\Delta \ge 0$
-
D.
$\Delta \le 0$
Đáp án : A
Dựa vào kiến thức về công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$.
Tính biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$.
- Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.
- Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.
- Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là
-
A.
${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$
-
B.
${x_1} = \dfrac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
-
C.
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
-
D.
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{a}$
Đáp án : C
Dựa vào công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$.
Tính biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$.
- Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
${{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.
- Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.
- Nếu $\Delta <0$ thì phương trình vô nghiệm.
Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình $6{x^2} - 7x = 0$.
-
A.
$ - \dfrac{7}{6}$
-
B.
$\dfrac{7}{6}$
-
C.
$\dfrac{6}{7}$
-
D.
$ - \dfrac{6}{7}$
Đáp án : B
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
Ta có $6{x^2} - 7x = 0$
$ x\left( {6x - 7} \right) = 0 $
$x = 0$ hoặc $x = \dfrac{7}{6}$
Nên tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{6}$.
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$3$
-
D.
$2$
Đáp án : D
Giải phương trình bằng cách đưa về bình phương của một số.
Ta có $ - 4{x^2} + 9 = 0$
$ 4{x^2} = 9\\{x^2} = \dfrac{9}{4} $
Suy ra \(x = \dfrac{3}{2}\) hoặc \(x = - \dfrac{3}{2}\)
Phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{3}{2};x = - \dfrac{3}{2}$.
Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.
-
A.
$\dfrac{1}{7}$
-
B.
$\dfrac{2}{7}$
-
C.
$\dfrac{6}{7}$
-
D.
$\dfrac{8}{7}$
Đáp án : A
Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta được phương trình mới ẩn $m$
Bước 2: Giải phương trình thu được ta tìm được $m$.
Thay $x = 2$ vào phương trình $4m{x^2} - x - 10{m^2} = 0$ , ta có
$4m{.2^2} - 2 - 14{m^2} = 0 $
$14{m^2} - 16m + 2 = 0$
$\left( {14m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $
Suy ra $m = \dfrac{1}{7}$ hoặc $m = 1$
Suy ra tích các giá trị của $m$ là $\dfrac{1}{7}.1 = \dfrac{1}{7}$.
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.
-
A.
$\Delta = 117$ và phương trình có nghiệm kép.
-
B.
$\Delta = - 117$ và phương trình vô nghiệm
-
C.
$\Delta = 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
D.
$\Delta = - 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Đáp án : C
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2: Kết luận
- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
Ta có $9{x^2} - 15x + 3 = 0$$\left( {a = 9;b = - 15;c = 3} \right)$
Suy ra $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.9.3 = 117 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
-
A.
m = 4
-
B.
m = - 4
-
C.
m < 4
-
D.
m > 4
Đáp án : C
Phương trình có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac < 0\)
Để phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m - 4 < 0 \Leftrightarrow m < 4.\)
Vậy với m < 4 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm các nghiệm (nếu có ) của phương trình ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$
-
A.
$\Delta = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \sqrt 2 $.
-
B.
$\Delta < 0$ và phương trình vô nghiệm
-
C.
$\Delta = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \sqrt 2 $.
-
D.
$\Delta > 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - \sqrt 2 ;{x_2} = \sqrt 2 $
Đáp án : A
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2: Kết luận
- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
Ta có ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$$\left( {a = 1;b = - 2\sqrt 2 ;c = 2} \right)$
Suy ra $ \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.2 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 $.
Cho phương trình \({x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\,\left( {m \in \,R} \right).\) Tích \(P\) tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho không là phương trình bậc hai bằng
-
A.
\(P = \dfrac{1}{9}\)
-
B.
\(P = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(P = - \dfrac{1}{9}\)
Đáp án : D
+) Đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\).
+) Phương trình trên không là phương trình bậc hai khi \( a = 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\\ \left( {9{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x - 1 = 0\end{array}\)
Phương trình trên không là phương trình bậc hai khi \(9{m^2} - 1 = 0 \) suy ra \( m = \pm \dfrac{1}{3}\).
Vậy tích các giá trị của m là \(P = - \dfrac{1}{9}\).
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt .
-
A.
$m \ge 0$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m > 0$
-
D.
$m < 0$
Đáp án : D
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$
Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có $a = - 1$ nên là phương trình bậc hai một ẩn x.
Biệt thức $\Delta = {\left( {2m} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right)$$ = 4{m^2} - 4{m^2} - 4m $$= - 4m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$ hay $- 4m > 0$ suy ra $ m < 0$
Vậy với $m < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có nghiệm kép.
-
A.
$m = 0;m = - 4$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = - 4$
-
D.
$m = 0;m = 4$
Đáp án : A
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$
Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép.
Phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có $a = 1$ nên là phương trình bậc hai ẩn x.
Biệt thức $\Delta = {m^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 4m$
Phương trình đã cho có nghiệm kép khi $\Delta = 0$ hay ${m^2} + 4m = 0$ suy ra $ m = 0$ hoặc $m = - 4$
Vậy với $m = 0;m = - 4$ thì phương trình có nghiệm kép.
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) vô nghiệm
-
A.
$m = 0$
-
B.
Không tồn tại $m$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 1$
Đáp án : B
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$
Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) có $a = 1$ nên là phương trình bậc hai ẩn x.
Biệt thức $\Delta = {\left( {1 - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = {\left( {1 - m} \right)^2} + 12 \ge 12 > 0;\,\forall m$
Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Vậy không có giá trị nào của $m$ để phương trình vô nghiệm.
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\) vô nghiệm
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}m \ge 1 + \sqrt 2 \\m \le 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2 \\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
-
C.
$1 - \sqrt 2 \le m \le 1 + \sqrt 2 $
-
D.
$1 - \sqrt 2 < m < 1 + \sqrt 2 $
Đáp án : B
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0$
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2:
TH1: Xét \( a=0\)
Th2: Xét \(a \ne 0\) thì PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta < 0$
Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.
Phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\)$\left( {a = m + 2;b = 2;c = m} \right)$
TH1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ ta có phương trình: $2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
TH2: $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$
Ta có $\Delta = {2^2} - 4\left( {m + 2} \right).m = - 4{m^2} - 8m + 4$
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\ - 4{m^2} - 8m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\2 - {\left( {m + 1} \right)^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\{\left( {m + 1} \right)^2} > 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\\left[ \begin{array}{l}m + 1 > \sqrt 2 \\m + 1 < - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2\\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có nghiệm.
-
A.
$m \ge 1$
-
B.
$m > 1$
-
C.
$m \ge - 1$
-
D.
$m \le - 1$
Đáp án : C
Xét phương trình: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0$
TH1: Với $a = 0$, phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn. Với \(b \ne 0\), phương trình có nghiệm.
TH2: Với $a \ne 0$, tính biệt thức \(\Delta\), với \(\Delta \ge 0\) thì phương trình có nghiệm.
Phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có $\left( {a = m;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = m - 3} \right)$
TH1: Với $m = 0$ ta có phương trình $2x - 3 = 0$ hay $2x=3$ suy ra $x = \dfrac{3}{2}$
Do đó với $m = 0$ thì phương trình có nghiệm. (1)
TH2: Với $m \ne 0$.
Biệt thức $\Delta = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4m.\left( {m - 3} \right)$$=4m^2-8m+4-4m^2+12m = 4m + 4$
Phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta \ge 0$ hay $4m + 4 \ge 0$ suy ra $4m\ge -4$, từ đó $m \ge - 1$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi $m \ge - 1$.
Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?
-
A.
Phương trình vô nghiệm với mọi $m$
-
B.
Phương trình có nghiệm kép với mọi $m$
-
C.
Phương trình hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
-
D.
Phương trình có nghiệm với mọi $m$
Đáp án : D
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
Bước 1: Kiểm tra điều kiện của phương trình bậc hai một ẩn: $a \ne 0$
Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\).
+) \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
+) \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép.
+) \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$ có $a = 1;b = - \left( {m - 1} \right);c = - m$
Suy ra $\Delta = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0,\forall m$
Nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi $m$.
Biết rằng phương trình ${x^2} - {\rm{ }}2(3m + 2)x + {\rm{ }}2{m^2} - 3m - 10 = 0$
có một trong các nghiệm bằng $ - 1$. Tìm nghiệm còn lại với $m > 0$
-
A.
$x = 11$
-
B.
$x = - 11$
-
C.
$x = 10$
-
D.
$x = - 10$
Đáp án : A
Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta tìm được $m$.
Bước 2: Thay $m$ trở lại phương trình ban đầu và giải phương trình nhận được ta tìm được nghiệm còn lại.
Thay $x = - 1$ vào phương trình, ta được:
${\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {3m + 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2{m^2} - 3m - 10 = 0$
hay $2{m^2} + 3m - 5 = 0$
$2{m^2} - 2m + 5m - 5 = 0$
$2m(m - 1) + 5(m - 1) = 0$
$\left( {2m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $
Suy ra $m = - \dfrac{5}{2}\,\,\left( L \right)$ hoặc $m = 1\,\,\left( N \right)$
Với $m = 1$, phương trình trở thành:
${x^2} - 10x - 11 = 0 $
${x^2} + x - 11x - 11 = 0 $
$x(x + 1) - 11(x + 1) = 0 $
$\left( {x - 11} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$
Suy ra $x = 11$ hoặc $x = - 1$
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $x = 11$.
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( * \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left( * \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.
-
A.
\(b = - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
-
B.
\(b = - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)
-
C.
\(b = 5;\,\,c = - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
-
D.
\(b = 5;\,\,c = - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)
Đáp án : A
Giải phương trình đã cho, sau đó thay các giá trị của nghiệm vào phương trình \(\left( * \right)\).
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)
Ta có \(x = \sqrt 2 \) và \(x = \sqrt 3 \) là các nghiệm của \(\left( * \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + c = 0\\{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c = - 4\\3b + c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\c = 6\end{array} \right..\)
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b = - 5\end{array} \right.\) vào \(\left( * \right)\): \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 \\x = - \sqrt 3 \\x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)
Vậy với \(b = - 5;\,\,c = 6\) ta được phương trình \(\left( * \right)\) có tập nghiệm: \(S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
Giải phương trình:
-
A.
\(S = \left\{ {1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
-
C.
\(S = \left\{ {1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)
Đáp án: A
Nhân biểu thức sau đó biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm hoặc đưa về phương trình tích.
\(\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.\)
-
A.
\(S = \left\{ { - 9;\,\,9} \right\}.\)
-
B.
\(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}.\)
-
C.
\(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
-
D.
\(S = \left\{ { - \sqrt 3 ;\,\,\sqrt 3 } \right\}.\)
Đáp án: C
Đưa phương trình về phương trình trùng phương và giải phương trình.
\(\begin{array}{l}{x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} - 3{x^2} - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) + 4\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\), với m là tham số.
-
A.
\(x = 0\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(x = 3\)
Đáp án: D
Thay \(m = - 1\) vào phương trình rồi giải nghiệm.
Với \(m = - 1\) phương trình thành: \( - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy với \(m = - 1\) phương trình có nghiệm \(x = 3.\)
-
A.
\(m \le \dfrac{7}{8}\)
-
B.
\(m \ge - \dfrac{7}{8}\)
-
C.
\(m \le - \dfrac{7}{8}\)
-
D.
\(m \ge \dfrac{7}{8}\)
Đáp án: C
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)
Với \(m = - 1\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = 3\)
Với \(m \ne - 1,\,\,\,\left( 1 \right)\) là phương trình bậc hai có:
\(\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} - 20m - 16 = - 8m - 7\)
Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 8m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \dfrac{7}{8}\)
Vậy với \(m \le - \dfrac{7}{8}\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
Giải phương trình \(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}}\)
-
A.
\(x=\sqrt{2}\)
-
B.
\(x=\pm \sqrt{2}\)
-
C.
\(x=-\sqrt{2}\)
-
D.
\(x=2\)
Đáp án : B
Thu gọn phương trình ban đầu về phương trình trùng phương. Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,(t\ge 0)\) đưa phương trình trùng phương ban đầu về phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai tìm t, kết hợp với điều kiện, tìm x ban đầu.
\(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}} \\ 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-26=0\)
Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,\,\left( t\ge 0 \right)\)
Phương trình trở thành \(5{{t}^{2}}+3t-26=0\,\,\left( * \right)\)
Biệt thức \(\Delta ={{3}^{2}} - 4.5.(-26) = 529 > 0\).
PT (*) có 2 nghiệm phân biệt:
\({{t}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{529}}{2.5}=2\ \ \left( tm \right) \); \({{t}_{2}}=\frac{-3-\sqrt{529}}{2.5}=\frac{-13}{5}\ \ \left( ktm \right) \)
Với \(t=2\) thì \({{x}^{2}}=2\). Khi đó \(x=\pm \sqrt{2}.\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(x=\pm \sqrt{2}\)
Tìm m để parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - (m - 1)x + m + 2\) và đường thẳng \(d:y = 2x + 4\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
-
A.
\(\displaystyle m = - {4 \over 3}\)
-
B.
\(\displaystyle m = {4 \over 3}\)
-
C.
\(\displaystyle m = {3 \over 4}\)
-
D.
\(m \in R\)
Đáp án : D
Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số giao điểm
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để biện luận
Parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow {x^2} - (m - 1)x + m + 2 - 2x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta = {( - (m + 1))^2} - 4(m - 2) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 4m + 8 > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 8 > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + 8 > 0\) (luôn đúng với mọi m).
Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x^2} + x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
\( - 2\)
Đáp án : D
Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình
Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên.
Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\\{x_0}^2 + {x_0} + m = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow (m - 1){x_0} + 1 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 1)(x_0-1) = 0\,(*)\)
Xét phương trình (*)
+) Nếu \(m = 1\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.
Lúc này phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.
Vậy \(m = 1\) không thỏa mãn.
+) Nếu \(m \ne 1\) thì \({x_0} = 1\).
Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\) ta được \(m = - 2\).
Vậy \(m = - 2\) thì hai phương trình có nghiệm chung.
Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\) nghiệm phương trình (2).
-
A.
\( - 45\)
-
B.
\( - 5\)
-
C.
\(0\) và \( - 5\)
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : A
Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.
Gọi nghiệm phương trình (2) là \({x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)\) thì nghiệm phương trình (1) là \(2{x_0}\).
Vì \({2x_0}\) là nghiệm của phương trình (1) nên \({(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\) (*)
Vì \({x_0}\) là nghiệm của phương trình (2) nên \({x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\). Nhân cả hai vế của phương trình với 4, ta được: \(4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\) (**)
Từ (*) và (**) ta có:
\({(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m\)
\(-10x_0 - 2m = 0\)
suy ra \({x_0} = - \dfrac{m}{5}\)
Do \({x_0} \ne 0\) nên \(m \ne 0\).
Thay \({x_0} = - \dfrac{m}{5}\) vào phương trình (2) ta được:
\({\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0\)
\(\dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0\)
\(\dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0\)
\(\dfrac{m}{5}. \left( \dfrac{m}{5} + 9 \right) = 0\)
Do đó \(m = 0\) hoặc \(m = - 45\)
Kết hợp \(m \ne 0\) ta được \(m = - 45\)
Cho hai phương trình \({x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + \left( {{m^2} - m} \right)x + 9\sqrt 2 - 30 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số).
Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung \(x = 3\).
-
A.
\(m = \sqrt 2\)
-
B.
\(m=1\)
-
C.
\(m = 2\)
-
D.
\(m = \sqrt 2-1\)
Đáp án : D
Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.
Phương trình (1) có hai nghiệm \({\Delta _1} \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2{m^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^3} + 7\sqrt 2 - 23} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 4{m^2} + 1 - 4{m^3} - 28\sqrt 2 + 92 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} - 4{m^3} + 4{m^2} - 28\sqrt 2 + 93 \ge 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Phương trình (2) có hai nghiệm \({\Delta _2} \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - 8\left( {9\sqrt 2 - 30} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^3} + {m^2} - 72\sqrt 2 + 240 \ge 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Hai phương trình đã cho có nghiệm chung là \(x = 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 + \left( {2{m^2} + 1} \right).3 + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\\2.9 + \left( {{m^2} - m} \right).3 + 9\sqrt 2 - 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\3{m^2} - 3m + 9\sqrt 2 - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{m^2} - m + 3\sqrt 2 - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giải phương trình (4) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 4 \right) \Leftrightarrow {m^2} - m = 4 - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4} - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 - 12\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9 - 2.3.2\sqrt 2 + 8}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\\m - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\\m = \sqrt 2 - 1\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(m = 2 - \sqrt 2 \) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} + 6{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 20 - 14\sqrt 2 + 6\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 7\sqrt 2 + 36 - 24\sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow 45 - 31\sqrt 2 = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow m = 2 - \sqrt 2 \) không thỏa mãn bài toán.
+) Với \(m = \sqrt 2 - 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^3} + 6{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow - 7 + 5\sqrt 2 + 6\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow - 18 + 12\sqrt 2 + 18 - 12\sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow m = \sqrt 2 - 1\) thỏa mãn bài toán.
Vậy \(m = \sqrt 2 - 1\) thỏa mãn bài toán.
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8\)
-
A.
Phương trình vô nghiệm
-
B.
1 nghiệm
-
C.
2 nghiệm
-
D.
3 nghiệm
Đáp án : D
- Phân tích các hằng đẳng thức để đưa phương trình đã cho về dạng một phương trình bậc ba.- Phân tích đa thức bậc ba thành tích của các phân thức bậc thấp hơn để giải phương trình.
\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8 \cr & \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27 = 27{x^3} + 8 \cr & \Leftrightarrow 18{x^3} - 33{x^2} - 57x - 18 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3(6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6) = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^3} - 18{x^2} + 7{x^2} - 21x + 2x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^2}(x - 3) + 7x(x - 3) + 2(x - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow (x - 3)(6{x^2} + 7x + 2) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 3 = 0 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Giải phương trình: \(6{x^2} + 7x + 2 = 0\)
Ta có : \(\Delta = {( - 7)^2} - 4.6.2 = 1 > 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm là: \(\displaystyle {x_1} = {{ - 7 - \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 2} \over 3};\,\,\,\displaystyle {x_2} = {{ - 7 + \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 1} \over 2}.\)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là \(\displaystyle S = \left\{ {3;{{ - 2} \over 3};{{ - 1} \over 2}} \right\}.\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Hệ phương trình đối xứng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 4 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 8 Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Toán 9
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 7 Toán 9
