-
Khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1 Căn bậc hai - Căn bậc ba
-
Chương 2 Hàm số bậc nhất
-
Chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
- Bài 5,6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình
- Bài tập ôn tập chương 3
-
Chương 4 Hàm số y=ax^2. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2
- Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
- Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
- Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Hệ phương trình đối xứng
- Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol
- Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et
- Bài tập ôn tập chương 4
-
Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
-
Chương 6 Đường tròn
- Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7,8: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập hay và khó chương đường tròn
- Bài tập ôn tập chương 6
-
Chương 7 Góc với đường tròn
- Bài 1: Góc ở tâm- Số đo cung
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6: Cung chứa góc
- Bài 7: Tứ giác nội tiếp
- Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn
- Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn
- Bài tập vận dụng cao từ các đề thi chuyên
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8 Hình trụ - hình nón - hình cầu
Trắc nghiệm Tổng hợp câu hay và khó chương 1 Toán 9
Đề bài
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
-
A.
\(P = \sqrt 3 - 1\)
-
B.
\(P = \sqrt 3 + 1\)
-
C.
\(P = 2\sqrt 3 \)
-
D.
\(P = \sqrt 3 + 2\)
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \) khi \(x \ge 0\) ta được:
-
A.
\(A = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(A = 2\sqrt x + \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(A = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
Cho biểu thức \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) (với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}\)) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(B > 2\)
-
B.
\(B > 1\)
-
C.
\(B = 1\)
-
D.
\(B < 2\)
Cho \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \) và \(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(C = 2B\)
-
B.
\(B = 2C\)
-
C.
\(B = C\)
-
D.
\(B = - C\)
Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\).
-
A.
\(x + y = 2018\)
-
B.
\(x + y = 2\)
-
C.
\(x + y = 1\)
-
D.
\(x + y = 0\)
Giải phương trình \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\) ta được nghiệm duy nhất \({x_0}.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\({x_0} < 1\)
-
B.
\({x_0} > 2\)
-
C.
\(0 < {x_0} < 1.\)
-
D.
\(1 < {x_0} < 2.\)
Cho \(x + \sqrt 3 = 2.\) Tính giá trị của biểu thức: \(H = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 2024\).
-
A.
\(H = 2019\)
-
B.
\(H = 2018\)
-
C.
\(H = 2020\)
-
D.
\(H = 2023\)
Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)
-
A.
\(P > 2\)
-
B.
\(P > 1\)
-
C.
\(P > 0\)
-
D.
\(P > 3\)
Phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
\(3\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(2\)
Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
-
A.
\(P = 4\)
-
B.
\(P = 1\)
-
C.
\(P = 2\)
-
D.
\(P = 3\)
Cho biểu thức: \(Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\) với \(x > y > 0\).
Rút gọn \(Q.\)
-
A.
\(Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + y} }}\)
-
B.
\(Q = \dfrac{{\sqrt {x + y} }}{{\sqrt {x - y} }}\)
-
C.
\(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\)
-
D.
\(Q = \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }}\)
Khi \(x = 3y\) thì giá trị của \(Q\) bằng
-
A.
\(Q = 2\)
-
B.
\(Q = \sqrt 2 \)
-
C.
\(Q = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Rút gọn biểu thức: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1} \right)\) ta được:
-
A.
\(C = 2\sqrt {ab} \)
-
B.
\(C = - 2\sqrt {ab} \)
-
C.
\(C = - \sqrt {ab} \)
-
D.
\(C = \sqrt {ab} \)
Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Cho \(A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}\) với \(x > 4\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
-
A.
\(A = 8\)
-
B.
\(A = 7\)
-
C.
\(A = 6\)
-
D.
\(A = 0\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(4\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} = 1\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 3\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 4\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\)
Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \).
-
A.
\({{\rm P}_{\min }} = \sqrt 5 \)
-
B.
\({{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 \)
-
C.
\({{\rm P}_{\min }} = 5\sqrt 3 \)
-
D.
\({{\rm P}_{\min }} = 3\)
Cho biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\) (với \(x > 0;\,\,x \ne 1\)).
Rút gọn biểu thức $A$.
-
A.
\(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)
-
B.
\(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)
-
C.
\(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
-
D.
\(A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}.$
-
A.
\(2020\)
-
B.
\(2019\)
-
C.
\(2018\)
-
D.
\(2017\)
Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
-
A.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
B.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
C.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
-
D.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
Cho ba số thực dương: \(a,b,c \le 1\) thỏa mãn: \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn câu đúng.
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{2}{3}\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
Tìm \(x\) để \(P = - 1.\)
-
A.
\(x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
-
B.
\(x = \dfrac{3}{4}\)
-
C.
\(x = \dfrac{9}{{16}}\)
-
D.
\(x = \dfrac{9}{{25}}\)
Tìm $m$ để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
-
A.
\(m > \dfrac{5}{{18}}\)
-
B.
\(m < \dfrac{5}{{18}}\)
-
C.
\(m < \dfrac{1}{4}\)
-
D.
\(m > \dfrac{1}{4}\)
Lời giải và đáp án
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
-
A.
\(P = \sqrt 3 - 1\)
-
B.
\(P = \sqrt 3 + 1\)
-
C.
\(P = 2\sqrt 3 \)
-
D.
\(P = \sqrt 3 + 2\)
Đáp án : B
+ Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A;B \ge 0} \right)\)
+ Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\)
Ta có \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 6 + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\)
\( = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}\)
\( = \sqrt 3 + 1.\)
Vậy \(P = \sqrt 3 + 1\) .
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \) khi \(x \ge 0\) ta được:
-
A.
\(A = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(A = 2\sqrt x + \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(A = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : C
Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Ta có \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} = \sqrt x - \sqrt {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt x - \left| {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right|\)
+ Nếu \(\sqrt x \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right| = \sqrt x - \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\).
+ Nếu \(\sqrt x < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le x < \dfrac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right| = - \sqrt x + \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(A = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}.\)
Cho biểu thức \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) (với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}\)) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(B > 2\)
-
B.
\(B > 1\)
-
C.
\(B = 1\)
-
D.
\(B < 2\)
Đáp án : B
Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}
A\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\
- A\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\,
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } = \sqrt {4x - 1 - 2\sqrt {4x - 1} + 1} + \sqrt {4x - 1 + 2\sqrt {4x - 1} + 1} \)
\(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \left| {\sqrt {4x - 1} + 1} \right|\)
\( = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \sqrt {4x - 1} + 1\)
Với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1 \le 4x \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 4x - 1 \le 1\)
Từ đó \(\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = - \sqrt {4x - 1} + 1\) suy ra \(B = - \sqrt {4x - 1} + 1 + \sqrt {4x - 1} + 1 = 2\).
Do đó \(B > 1.\)
Cho \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \) và \(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(C = 2B\)
-
B.
\(B = 2C\)
-
C.
\(B = C\)
-
D.
\(B = - C\)
Đáp án : A
+ Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\)
+ Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\)
+ Tính giá trị \(C.\)
Vì \(7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 2 - \sqrt 3 \)
Suy ra \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10(2 - \sqrt 3 )} } } = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } } \)\( = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } .\) Hay \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5(5 - \sqrt 3 )} } = \sqrt {9 - \sqrt {25} } = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\)
+ Tính giá trị \(B.\)
Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right).\) Ta có:
\(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\)
Suy ra \({B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\)\( = 1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\)
Hay \({B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{84}}{{81}}}}B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^3} - {B^2} + {B^2} - B + 2B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^2}\left( {B - 1} \right) + B\left( {B - 1} \right) + 2\left( {B - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0\) mà \({B^2} + B + 2 = {\left( {B + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\) suy ra \(B = 1\).
Do đó ta có \(C = 2;\,B = 1 \Rightarrow C = 2B.\)
Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\).
-
A.
\(x + y = 2018\)
-
B.
\(x + y = 2\)
-
C.
\(x + y = 1\)
-
D.
\(x + y = 0\)
Đáp án : D
+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\) và giả thiết để chỉ ra \(\sqrt {{x^2} + 2018} - x = \sqrt {{y^2} + 2018} + y\) và \(\sqrt {{y^2} + 2018} - y=\sqrt {{x^2} + 2018} + x\)
+ Từ đó tìm ra giá trị của \(x + y\)
Nhận xét: \(\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} - x} \right) = {x^2} + 2018 - {x^2} = 2018\) và \(\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} + y} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} - y} \right) = {y^2} + 2018 - {y^2} = 2018\)
Kết hợp với giả thiết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\) ta có:
\(\frac{2018}{\sqrt {x^2+2018}-x}.\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} + y} \right) = 2018\) suy ra \(\sqrt {{x^2} + 2018} - x = \sqrt {{y^2} + 2018} + y\) và
\(\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} + x} \right).\frac{2018}{\sqrt {y^2+2018}-y} = 2018\) suy ra \(\sqrt {{y^2} + 2018} - y=\sqrt {{x^2} + 2018} + x\)
\( \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2018} + y + \sqrt {{x^2} + 2018} + x = \sqrt {{x^2} + 2018} - x + \sqrt {{y^2} + 2018} - y \Leftrightarrow 2\left( {x + y} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y = 0.\)
Giải phương trình \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\) ta được nghiệm duy nhất \({x_0}.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\({x_0} < 1\)
-
B.
\({x_0} > 2\)
-
C.
\(0 < {x_0} < 1.\)
-
D.
\(1 < {x_0} < 2.\)
Đáp án : D
+ Tìm điều kiện
+ Nhân liên hợp vế trái.
+ Đưa về phương trình tích để tìm \(x.\)
+ Kết hợp điều kiện rồi kết luận
Điều kiện \(x \ge \dfrac{2}{3}.\)
\(PT \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right)}}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 3}}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} - \left( {x + 2} \right)} \right) = 0\)
+) \(\dfrac{1}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} = x + 2\) \(\left( {{\rm{VN\,do }}\,\dfrac{1}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} < 1 < x + 2} \right)\)
+) \(2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \({x_0} = \dfrac{3}{2} \cdot \)
Từ đó ta có \(1 < {x_0} < 2.\)
Cho \(x + \sqrt 3 = 2.\) Tính giá trị của biểu thức: \(H = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 2024\).
-
A.
\(H = 2019\)
-
B.
\(H = 2018\)
-
C.
\(H = 2020\)
-
D.
\(H = 2023\)
Đáp án : A
+ Biến đổi giả thiết \(x + \sqrt 3 = 2\) để tìm hệ thức liên quan đến \(x.\)
+ Tách và nhóm các hạng tử thích hợp của \(H\) để xuất hiện các hệ thức vừa tìm được.
+ Từ đó tính giá trị biểu thức \(H.\)
Ta có \(x + \sqrt 3 = 2 \Leftrightarrow 2 - x = \sqrt 3 \Rightarrow {\left( {2 - x} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 4 - 4x + {x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0.\)
Suy ra: \(H = \left( {{x^5} - 4{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^4} - 4{x^3} + {x^2}} \right) + 5\left( {{x^2} - 4x + 1} \right) + 2019.\)
Do \({x^2} - 4x + 1 = 0\) nên \(H = 2019.\)
Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)
-
A.
\(P > 2\)
-
B.
\(P > 1\)
-
C.
\(P > 0\)
-
D.
\(P > 3\)
Đáp án : C
+ Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để thu gọn \(x.\)
+ Từ đó biến đổi \(x\) để thu được hệ thức \({x^2} - 2x = 4\)
+ Biến đổi \(P\) để xuất hiện hạng tử \({x^2} - 2x\) từ đó tính giá trị biểu thức \(P.\)
Ta có: \({x^2} = {\left( {\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } } \right)^2} = 8 + 2\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)\(= 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow x = \sqrt 5 + 1\).
Từ đó ta suy ra \(x - 1 = \sqrt 5 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 4.\)
Ta biến đổi: \(P = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 3\left( {{x^2} - 2x} \right) + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)\( = \dfrac{{{4^2} - 3.4 + 12}}{{4 + 12}} = .1\)
Vậy \(P = 1 > 0\)
Phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
\(3\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(2\)
Đáp án : D
+ Tìm điều kiện.
+ Đặt ẩn phụ và biến đổi để đưa về dạng phương trình tích.
Điều kiện \({x^2} + 2x - 1 \ge 0\). Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x - 1} \ge 0.\)
Phương trình trở thành \(\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} - 4x = 0\)\(\Leftrightarrow {t^2} + 2\left( {x - 1} \right)t - 4x = 0\) \(\Leftrightarrow {t^2} + 2x.t - 2t - 4x = 0\)\( \Leftrightarrow t\left( {t + 2x} \right) - 2\left( {t + 2x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 2x\end{array} \right.\)
Với \(t = 2,\) ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = 2 \)\(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 = 0 \)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 6\)\(\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 6 \) (nhận)
Với \(t = - 2x,\) ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = - 2x \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3{x^2} - 2x + 1 = 0\end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
3\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^2 + \dfrac{2}{3} = 0
\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - 1 \pm \sqrt 6 \).
Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
-
A.
\(P = 4\)
-
B.
\(P = 1\)
-
C.
\(P = 2\)
-
D.
\(P = 3\)
Đáp án : C
+ Sử dụng điều kiện \(xy + yz + zx = 1\) để phân tích \(\left( {1 + {x^2}} \right);\left( {1 + {y^2}} \right);\left( {1 + {z^2}} \right)\) thành nhân tử.
+ Thay vào biểu thức $P$ để rút gọn và tính toán.
Vì \(xy + yz + zx = 1\) nên \(1 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)\)
Tương tự đối với \(1 + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right);1 + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)
Từ đó ta có:
+) \(x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} = x\sqrt {\dfrac{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)\)
+) \(y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} \)\( = y\sqrt {\dfrac{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} = y\left( {x + z} \right)\)
+) \(z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \)\( = z\sqrt {\dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} = z\left( {x + y} \right)\)
Suy ra \(P = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2\). (vì \(xy + yz + zx = 1\)).
Cho biểu thức: \(Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\) với \(x > y > 0\).
Rút gọn \(Q.\)
-
A.
\(Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + y} }}\)
-
B.
\(Q = \dfrac{{\sqrt {x + y} }}{{\sqrt {x - y} }}\)
-
C.
\(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\)
-
D.
\(Q = \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }}\)
Đáp án: C
Quy đồng mẫu, thực hiện rút gọn các biểu thức chú ý thứ tự thực hiện phép tính nhân chia trước cộng trừ sau.
Ta có \(Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} \cdot \dfrac{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{y}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{{x^2} - {x^2} + {y^2}}}{{y\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {x - y} } \right)}^2}}}{{\sqrt {x + y} .\sqrt {x - y} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\end{array}\)
Vậy \(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\) với \(x > y > 0\)
Khi \(x = 3y\) thì giá trị của \(Q\) bằng
-
A.
\(Q = 2\)
-
B.
\(Q = \sqrt 2 \)
-
C.
\(Q = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Đáp án: D
+ Sử dụng kết quả rút gọn câu trước \(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\) với \(x > y > 0\)
+ Thay \(x = 3y\) để tính giá trị của \(Q.\)
Theo câu trước ta có \(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\) với \(x > y > 0\)
Thay \(x = 3y\) (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được:
\(Q = \dfrac{{\sqrt {3y - y} }}{{\sqrt {3y + y} }} = \dfrac{{\sqrt {2y} }}{{\sqrt {4y} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \(Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) khi \(x = 3y\).
Rút gọn biểu thức: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1} \right)\) ta được:
-
A.
\(C = 2\sqrt {ab} \)
-
B.
\(C = - 2\sqrt {ab} \)
-
C.
\(C = - \sqrt {ab} \)
-
D.
\(C = \sqrt {ab} \)
Đáp án : C
+ Tìm điều kiện.
+ Dùng các phép biến đổi căn thức để qui đồng từng ngoặc và rút gọn.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b \ge 0\\ab \ne 1\end{array} \right.\)
Ta có: $\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1 = \dfrac{{a\sqrt b - \sqrt a + \sqrt {ab} - 1 + ab + a\sqrt b + \sqrt {ab} + \sqrt a - ab + 1}}{{ab - 1}}$
$ = \dfrac{{2a\sqrt b + 2\sqrt {ab} }}{{ab - 1}} = \dfrac{{2\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}}.$
Và $\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1 = \dfrac{{a\sqrt b - \sqrt a + \sqrt {ab} - 1 - ab - a\sqrt b - \sqrt {ab} - \sqrt a + ab - 1}}{{ab - 1}}$
$ = \dfrac{{ - 2\sqrt a - 2}}{{ab - 1}} = \dfrac{{ - 2\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}}$
Nên $C = \dfrac{{2\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}}:\dfrac{{ - 2\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}} = - \sqrt {ab} .$
Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : B
+ Tìm điều kiện
+ Thêm bớt các hệ số tự do vào vế trái để nhóm thành các nhóm thích hợp. Từ đó thực hiện phép nhân liên hợp với mỗi nhóm để đưa về dạng phương trình tích.
+ Giải các phương trình thu được bằng phương pháp đánh giá.
+ So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.
Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{3}.$
Nhận xét: Với $x \ge \dfrac{7}{3}$ thì \({x^2} - 5 > 0.\)
Ta có: $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9.$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {TM} \right)\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x + 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right..$
Ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2};\,\dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2}\)
Và \(x + 3 \ge \dfrac{7}{3} + 3 \Leftrightarrow x + 3 \ge \dfrac{{16}}{3}\,\,\left( {{\rm{do}}\,x \ge \dfrac{7}{3}} \right)\)
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}VT\left( * \right) < \dfrac{7}{2}\\VP\left( * \right) \ge \dfrac{{16}}{3}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {\forall x \ge \dfrac{7}{3}} \right) \Rightarrow {\rm{ }}PT\,\left( * \right)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3.\)
Cho \(A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}\) với \(x > 4\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
-
A.
\(A = 8\)
-
B.
\(A = 7\)
-
C.
\(A = 6\)
-
D.
\(A = 0\)
Đáp án: A
+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{X^2}} = \left| X \right|\) để rút gọn \(A.\)
+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Cho \(a,b \ge 0\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
+ Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x > 4\).
+ Nhận thấy:
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } = \sqrt {\left( {x - 4} \right) + 2.2\sqrt {x - 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| = \sqrt {x - 4} + 2.\)
\(\sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } = \sqrt {\left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)
\(\sqrt {{x^2} - 8x + 16} = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} = \left| {x - 4} \right|\)
Từ đó:
\(A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} = \)\(\dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}\)
+ Nếu \(4 < x < 8\) thì \(\sqrt {x - 4} - 2 < 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$
Do \(4 < x < 8\) nên \(0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8\).
+ Nếu $x \ge 8$ thì \(\sqrt {x - 4} - 2 \ge 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2} \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4} + \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16} = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4} = \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.
Vậy GTNN của $A$ bằng \(8\) khi \(x = 8\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(4\)
Đáp án: C
+ Sử dụng kết quả rút gọn của câu trước: \(A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,\)
+ Lập luận để \(\dfrac{n}{B} \in Z\) thì \(B \in U\left( n \right)\).
Theo câu trước ta có: \(A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,\)
+ Xét \(4 < x < 8\) thì $A = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$, ta thấy \(A \in Z\) khi và chỉ khi $\dfrac{{16}}{{x - 4}} \in Z \Leftrightarrow x - 4$ là ước số nguyên dương của \(16\). Hay $x - 4 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\} \Leftrightarrow x = \left\{ {5;6;8;12;20} \right\}$ đối chiếu điều kiện suy ra: ${\rm{x}} = 5$ hoặc \(x = 6\).
+ Xét $x \ge 8$ ta có: $A = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}$, đặt \(\sqrt {x - 4} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {m^2} + 4\\m \ge 2\end{array} \right.\) (ở đây $ m\in Z$ vì $x$ nguyên và $A$ nguyên), khi đó ta có: \(A = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \dfrac{8}{m}\) suy ra: \(m \in \left\{ {2;4;8} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {8;20;68} \right\}\).
Tóm lại: Để $A$ nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {5;6;8;20;68} \right\}\).
Vậy có \(5\) giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} = 1\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 3\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 4\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\)
Đáp án : D
+ Đặt \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\) và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
+ So sánh A và B
+ Tính \(A + B\) bằng cách biến đổi và sử dụng \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k \)
+ Từ đó suy ra đáp án.
Xét \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\), \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Vì \(\sqrt 1 + \sqrt 2 < \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 3 + \sqrt 4 < ... < \sqrt {80} + \sqrt {81} \)
Nên \(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} > \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }};...;\)
\(\dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\) từ đó suy ra \(A > B\).
Lại có: \(A + B = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Mặt khác ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \dfrac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} \)\(= \sqrt {k + 1} - \sqrt k \) \(\left( {k \ge 0} \right)\)
Suy ra: $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8.$
Do $A > B$ suy ra \(2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4\).
Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \).
-
A.
\({{\rm P}_{\min }} = \sqrt 5 \)
-
B.
\({{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 \)
-
C.
\({{\rm P}_{\min }} = 5\sqrt 3 \)
-
D.
\({{\rm P}_{\min }} = 3\)
Đáp án : B
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và mở rộng của bất đẳng thức
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số \(x;\,\,y;\,\,z;\,\,t\): \(\sqrt {\left({{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt.\)
+ Phát triển tử bất đẳng thức trên để được bất đẳng thức :
$\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}}$ (*)
Từ đó sử dụng để làm bài.
Trước hết ta chứng minh với $x;y;z;t$ bất kì thì
\(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}} \) (*).
Thật vậy, bất đẳng thức (*) tương đương với
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \)\( \ge {x^2} + 2xz + {z^2} + {y^2} + 2yt + {t^2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt\)
Đúng vì theo bất đẳng thức Bunhia cốp xki
\(\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {xz + yt} \right)}^2}} \)\(= \left| {\left( {xz + yt} \right)} \right| \ge \left( {xz + yt} \right)\).
Áp dụng (*) ta có
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}} + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {36 + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \).
Ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2.6 = 12 \)\(\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3.\)
Từ đó \(P \ge \sqrt {36 + 9} = 3\sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra \(x = y = z = 1\).
Vậy \({{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 .\)
Cho biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\) (với \(x > 0;\,\,x \ne 1\)).
Rút gọn biểu thức $A$.
-
A.
\(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)
-
B.
\(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)
-
C.
\(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
-
D.
\(A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\)
Đáp án: C
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng từng ngoặc để tính toán và rút gọn.
Ta có: \(\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt x - 1}}\)
Và \(\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
Từ đó: \(A = \dfrac{2}{{\sqrt x - 1}}:\dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x - 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x }}\)\( = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}.$
-
A.
\(2020\)
-
B.
\(2019\)
-
C.
\(2018\)
-
D.
\(2017\)
Đáp án: D
+ Sử dụng kết quả câu trước \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\), với điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
+ Cho $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}$ sau đó biến đổi để tìm các giá trị của \(x.\)
Theo câu trước ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\), với điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}$ $ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$
$ \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt {2018} \Rightarrow 0 < x \le 2018$
Kết hợp điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1\) và \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {2;3;4;...;2018} \right\}\). Suy ra có $2017$ giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bài toán.
Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
-
A.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
B.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
C.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
-
D.
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
Đáp án : D
Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.
Theo bất đẳng thức Cô si:
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$
Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:
\(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}\)
$ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b} $
Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a} $
Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:
\(\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1.\)
Cho ba số thực dương: \(a,b,c \le 1\) thỏa mãn: \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn câu đúng.
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{2}{3}\)
Đáp án : A
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Cho \(a,b \ge 0\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) .
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
Vì \(0 < a,b,c \le 1\) thì \(1 - {a^2} \ge 0;\,1 - {b^2} \ge 0;\,1 - {c^2} \ge 0.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
\(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} \le \dfrac{{{a^2} + 1 - {b^2}}}{2} + \dfrac{{{b^2} + 1 - {c^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {1 - {b^2}} \\b = \sqrt {1 - {c^2}} \\c = \sqrt {1 - {a^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1 - {b^2}\\{b^2} = 1 - {c^2}\\{c^2} = 1 - {a^2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Đáp án : A
+ Tìm điều kiện
+ Đặt \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) sau đó đưa về phương trình tích ẩn \(y\) .
+ Tìm \(y\) sau đó thay trở lại phép đặt để tìm ra \(x.\)
Ta có \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2} \)\(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4\sqrt {{x^2} - 4} } = 16 - 2{x^2}\) (1)
ĐK: \( \left| x \right| \ge 2 \)
Đặt \(y = \sqrt {{x^2} - 4} {\rm{ }}\, (\, y \ge 0) \Rightarrow {x^2} = {y^2} + 4\)
Phương trình (1) trở thành:
\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt {{y^2} + 4 + 4y} = 16 - 2\left( {{y^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2}} = 8 - 2{y^2}\\ \Leftrightarrow \left| {y + 2} \right| = 8 - 2{y^2}\\ \Leftrightarrow y + 2 = 8 - 2{y^2}\,{\rm{ }}({\rm{\,do\, }}y \ge 0 \Rightarrow y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow (y + 2)(2y - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 2y - 3 = 0{\rm{ }}\,({\rm{\,do }}\,y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Với \(y = \dfrac{3}{2}\), ta có:
\({x^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{5}{2}\)
Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow x = \pm \dfrac{5}{2}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \pm \dfrac{5}{2}\).
Tổng các nghiệm của phương trình là \(\dfrac{5}{2} + \dfrac{{ - 5}}{2} = 0.\)
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
Tìm \(x\) để \(P = - 1.\)
-
A.
\(x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
-
B.
\(x = \dfrac{3}{4}\)
-
C.
\(x = \dfrac{9}{{16}}\)
-
D.
\(x = \dfrac{9}{{25}}\)
Đáp án: C
+ Tìm điều kiện
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn biểu thức
+ Cho \(P = - 1\) để tìm \(x.\)
Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1 - 2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\)
Với điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\).
Ta có: \(P = - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} = - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x - 3\sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {4\sqrt x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 1\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{16}}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{9}{{16}}\) thì \(P = - 1.\)
Tìm $m$ để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
-
A.
\(m > \dfrac{5}{{18}}\)
-
B.
\(m < \dfrac{5}{{18}}\)
-
C.
\(m < \dfrac{1}{4}\)
-
D.
\(m > \dfrac{1}{4}\)
Đáp án: A
Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
Thay \(P\) vào bất phương trình $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$ từ đó tìm \(m.\)
Ta có \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
Khi đó
\(\forall x > 9:m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right).\dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} > x + 1 \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \dfrac{{x + 1}}{{4x}}\)
Ta thấy \(\dfrac{{x + 1}}{{4x}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4x}} < \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4.9}}\) với mọi \(x > 9\) hay \(\dfrac{{x + 1}}{{4x}} < \dfrac{5}{{18}}\)
Vậy \(m > \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\) với mọi \(x > 9\) .
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 1 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Căn bậc ba Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6,7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3,4: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Căn thức bậc hai Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 8 Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Toán 9
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 7 Toán 9
