-
Khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1 Căn bậc hai - Căn bậc ba
-
Chương 2 Hàm số bậc nhất
-
Chương 3 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số
- Bài 5,6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bài tập hay và khó chương 3 về hệ phương trình
- Bài tập ôn tập chương 3
-
Chương 4 Hàm số y=ax^2. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2
- Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm
- Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol
- Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Hệ phương trình đối xứng
- Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol
- Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
- Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et
- Bài tập ôn tập chương 4
-
Chương 5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
-
Chương 6 Đường tròn
- Sự xác định của đường tròn- Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7,8: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài tập hay và khó chương đường tròn
- Bài tập ôn tập chương 6
-
Chương 7 Góc với đường tròn
- Bài 1: Góc ở tâm- Số đo cung
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6: Cung chứa góc
- Bài 7: Tứ giác nội tiếp
- Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn
- Bài tập hay và khó chương góc với đường tròn
- Bài tập vận dụng cao từ các đề thi chuyên
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8 Hình trụ - hình nón - hình cầu
Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 4 Toán 9
Đề bài
Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0\) (1)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
-
A.
Với \(m = 3\) phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.
-
B.
Với \(m = - 1\) phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
-
C.
Với \(m = 2\) phương trình (1) vô nghiệm.
-
D.
Với \(m = 2\) phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} + ax + b = 0\) (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Điều kiện để \({x_1}; {x_2} > 0\) là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a > 0\\b > 0\end{array} \right.\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.\)
Giả sử: \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 9 = 0\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
-
A.
$30$
-
B.
$32$
-
C.
$34$
-
D.
$36$
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
-
A.
\({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\)
-
B.
\({x^2} - 3\sqrt 5 \,x + 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\)
-
D.
\({x^2} - 3\sqrt 5 \,x - 2 = 0\)
Tập nghiệm của phương trình \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) là:
-
A.
S = {\(2;3\)}
-
B.
S = {\( \pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3 \)}
-
C.
S = {\(1\,;\,\,6\)}
-
D.
S = {\(1\,;\,\, \pm \sqrt 6 \)}
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
-
A.
\(S = \left\{ {36} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ {4;\,\,36} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ 4 \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ {2; - 6} \right\}\)
Cho phương trình: \({x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0\) (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?
-
A.
\(m = - \dfrac{7}{5}\)
-
B.
\(m = - 1\)
-
C.
\(m = - \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\(m = 4 - 2\sqrt 7 \)
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - 2px + 5 = 0\) có $1$ nghiệm \({x_1} = 2\)
Tìm giá trị của $p$ và nghiệm \({x_2}\) còn lại:
-
A.
\(p = 2;{x_2} = 1\)
-
B.
\(p = \dfrac{5}{2};{x_2} = \dfrac{9}{4}\)
-
C.
\(p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{5}{2}\)
-
D.
\(p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{1}{2}\)
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - qx + 50 = 0\).
Tìm \(q > 0\) và $2$ nghiệm \({x_1};{x_2}\) của phương trình biết rằng \({x_1} = 2{x_2}\).
-
A.
\(q = 5;{x_1} = 10;{x_2} = 5\)
-
B.
\(q = 15;{x_1} = 10;{x_2} = 5\)
-
C.
\(q = 5;{x_1} = 5;{x_2} = 10\)
-
D.
\(q = - 15;{x_1} = - 10;{x_2} = - 5\)
Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 1} \right) = 0\) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
-
A.
\(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = -5\)
-
B.
\({x_1} + {x_2} -x_1.x_2= - 1\)
-
C.
\({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 5\)
-
D.
\(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5\)
Cho phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu.
-
A.
\(m = 3\)
-
B.
\(m > - 3\)
-
C.
\(m < 3\)
-
D.
\( - 3 < m < 3\)
Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{1}{4}\\
m \ne 0
\end{array} \right.$ -
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}
m > - \dfrac{1}{4}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\) -
C.
$m > - \dfrac{1}{4}$
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}
m > - \dfrac{1}{2}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\)
Cho phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 8\).
-
A.
$m = 2$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = - 2$
-
D.
$m = 1$
Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(d:\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - m - 1\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
-
A.
$m > - 1$
-
B.
$m < - 1$
-
C.
$m = 1$
-
D.
$m \ne - 1$
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: \(y = 2\left( {m - 3} \right)x + 4m - 8\) cắt đồ thị hàm số (P):\(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
-
A.
\(m < 3\)
-
B.
$m < 2$
-
C.
\(m < 2;m \ne 1\)
-
D.
\(2 < m < 3\)
Cho phương trình: \(x - 2\sqrt x + m - 3 = 0\) (1)
Điều kiện của $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt là:
-
A.
\(3 \le m \le 4\)
-
B.
\(3 \le m < 4\)
-
C.
\(3 < m \le 4\)
-
D.
\(3 < m < 4\)
Cho phương trình: \({x^2} + x - \dfrac{{18}}{{{x^2} + x}} = 3\) (1)
Phương trình trên có số nghiệm là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Cho phương trình: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\) (1)
Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1).
Giá trị của $S$ là:
-
A.
\(S = - 11\)
-
B.
\(S = 11\)
-
C.
\(S = - \dfrac{{11}}{3}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{11}}{3}\)
Phương trình \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
1 nghiệm
-
B.
3 nghiệm
-
C.
4 nghiệm
-
D.
2 nghiệm
Tập nghiệm của phương trình \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 35\) là:
-
A.
S = \(\left\{ {\dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}\)
-
B.
S = \(\left\{ {1;\dfrac{{ - 5 + \sqrt {39} }}{2};\dfrac{{ - 5 - \sqrt {39} }}{2}} \right\}\)
-
C.
S = \(\left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}\)
-
D.
S = \(\left\{ { - 1;\dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}\)
Tập nghiệm của phương trình: \(\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\) là:
-
A.
$S = \left\{ { - 5;2} \right\}\,$
-
B.
\(S = \left\{ { - 3;7\,} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ {1;4\,} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 2;7\,} \right\}\)
Cho phương trình: \(x - 3\sqrt x + m - 4 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
-
A.
\(m > 4\)
-
B.
\(4 \le m < \dfrac{{25}}{4}\)
-
C.
\(m < \dfrac{{25}}{4}\)
-
D.
\(m \le 4\) hoặc \(m \ge \dfrac{{25}}{4}\)
Định m để đường thẳng (d): \(y = \left( {m + 1} \right)x - 2m\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho: \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
-
A.
\(m = - 4\)
-
B.
\(m = 6\)
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
\(m = 2\)
Cho phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 5{x_1}{x_2} = - 1\).
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = \dfrac{5}{4}\)
-
C.
\(m = - 4\)
-
D.
\(m = \dfrac{{ - 7}}{4}\)
Cho phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm nhỏ hơn $2$.
-
A.
\(m < 2\)
-
B.
\(m > - 3\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3} < m < 2\)
-
D.
\(m > \dfrac{1}{3}\)
Lời giải và đáp án
Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0\) (1)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
-
A.
Với \(m = 3\) phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.
-
B.
Với \(m = - 1\) phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
-
C.
Với \(m = 2\) phương trình (1) vô nghiệm.
-
D.
Với \(m = 2\) phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.
Đáp án : C
Phương trình đã cho là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ và tham số m.
Để xem phương trình có nghiệm hay không, ta xét đại lượng \(\Delta \) của phương trình.
Thay các giá trị của $m$ vào để tìm đáp án đúng.
Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn $x$ và tham số $m$.
Xét: \(\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {{m^2} + m + 1} \right) = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} - m - 1 = - 7m + 8\).
\( \bullet \) Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{8}{7}\).
\( \bullet \) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}\).
\( \bullet \) Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - 7m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{8}{7}\).
Như vậy
+ Với $m=3>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên A sai.
+ Với $m=-1<\dfrac{8}{7}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên B sai.
+ Với $ m=2>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên C đúng, D sai.
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} + ax + b = 0\) (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Điều kiện để \({x_1}; {x_2} > 0\) là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a > 0\\b > 0\end{array} \right.\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.\)
Đáp án : A
Điều kiện để phương trình bậc hai có $2$ nghiệm phân biệt là \(\Delta > 0\).
Phương trình bậc hai có $2$ nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
Phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {a^2} > 4b\).
Để phương trình (1) có $2$ nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\ - a > 0\\b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.\)
Giả sử: \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x - 9 = 0\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng:
-
A.
$30$
-
B.
$32$
-
C.
$34$
-
D.
$36$
Đáp án : C
- Biến đổi: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}\).
- Áp dụng hệ thức Vi-et tính được: \({x_1} + {x_2},\,\,{x_1}.{x_2}\), thay vào biểu thức bên trên ta tìm được \(x_1^2 + x_2^2\).
Phương trình đã cho có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 9} \right) = 13 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}\) (1)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - ( - 4)}}{1} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{ - 9}}{1} = - 9\end{array} \right.\\\end{array}\)
Thay vào (1) ta được: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {4^2} - 2.( - 9) = 16 + 18 = 34\).
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
-
A.
\({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\)
-
B.
\({x^2} - 3\sqrt 5 \,x + 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\)
-
D.
\({x^2} - 3\sqrt 5 \,x - 2 = 0\)
Đáp án : A
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = S\\u.v = P\end{array} \right. \Rightarrow \) \(u,v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - Sx + P = 0\). (ĐK: \({S^2} \ge 4P\) )
Ta có:
\(\begin{array}{l}S = \sqrt 5 - 2 + \sqrt 5 + 2 = 2\sqrt 5. \\P = (\sqrt 5 - 2)(\sqrt 5 + 2) = 5 - 4 = 1\end{array}\).
Nhận thấy \({S^2} > 4P\,\left( {{\rm{do}}\,{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} = 20 > 4} \right)\)
Nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\) là: \({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\).
Tập nghiệm của phương trình \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) là:
-
A.
S = {\(2;3\)}
-
B.
S = {\( \pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3 \)}
-
C.
S = {\(1\,;\,\,6\)}
-
D.
S = {\(1\,;\,\, \pm \sqrt 6 \)}
Đáp án : B
Phương trình đã cho là phương trình trùng phương, ta đặt: \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} - 5t + 6 = 0\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) sau đó quay lại tìm được \(x\).
\({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0\) (1)
Đặt: \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0\)
Có: \(\Delta = {5^2} - 4.6 = 1 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5 + 1}}{2} = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{5 - 1}}{2} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) .
+) Với \(t = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 .\)
+) Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { \pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}$.
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
-
A.
\(S = \left\{ {36} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ {4;\,\,36} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ 4 \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ {2; - 6} \right\}\)
Đáp án : C
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} + 4t - 12 = 0\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) sau đó quay lại tìm được \(x\).
\(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) (1)
ĐKXĐ: \(x \ge 0.\)
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 12 = 0.\)
Có: \(\Delta ' = {2^2} + 12 = 16 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 2 + \sqrt {16} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = - 2 - \sqrt {16} = - 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)
Với \(t = 2 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4.\)
Cho phương trình: \({x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0\) (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?
-
A.
\(m = - \dfrac{7}{5}\)
-
B.
\(m = - 1\)
-
C.
\(m = - \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\(m = 4 - 2\sqrt 7 \)
Đáp án : A
Đặt \({x^2} = t\) $( t \ge 0)$ đưa phương trình (1) thành phương trình bậc $2$ với ẩn $t$ và tham số $m$.
Phương trình mới thu được: \({t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2)
Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt.
Biện luận phương trình (2) theo tham số $m$ để có $2$ nghiệm dương phân biệt.
Đặt: \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta được: \({t^2} + mt + 2m + 3 = 0\) (2).
Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt
Phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {2m + 3} \right) > 0\\ - m > 0\\2m + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m - 12 > 0\\m < 0\\m > - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 2\sqrt 7 \\m < 4 - 2\sqrt 7 \end{array} \right.\\ - \dfrac{3}{2} < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \)
Với các giá trị thuộc \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.
Nhận thấy trong các đáp án thì thì chỉ có \(m = - \dfrac{7}{5}\) thỏa mãn \( - \dfrac{3}{2} < m < 4 - 2\sqrt 7 \) để phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - 2px + 5 = 0\) có $1$ nghiệm \({x_1} = 2\)
Tìm giá trị của $p$ và nghiệm \({x_2}\) còn lại:
-
A.
\(p = 2;{x_2} = 1\)
-
B.
\(p = \dfrac{5}{2};{x_2} = \dfrac{9}{4}\)
-
C.
\(p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{5}{2}\)
-
D.
\(p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : C
Thay nghiệm \({x_1} = 2\) vào phương trình đã cho để tìm $p$.
Thay giá trị $p$ tìm được vào phương trình, phân tích thành phương trình tích với nhân tử là \((x - 2)\) để tìm nghiệm còn lại.
Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho ta được: \(4 - 4p + 5 = 0 \Leftrightarrow 4p = 9 \Leftrightarrow p = \dfrac{9}{4}\).
Thay \(p = \dfrac{9}{4}\) vào phương trình đã cho ta được: \({x^2} - \dfrac{9}{2}x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 10 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(2x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm còn lại là \({x_2} = \dfrac{5}{2}\).
Cho phương trình bậc hai: \({x^2} - qx + 50 = 0\).
Tìm \(q > 0\) và $2$ nghiệm \({x_1};{x_2}\) của phương trình biết rằng \({x_1} = 2{x_2}\).
-
A.
\(q = 5;{x_1} = 10;{x_2} = 5\)
-
B.
\(q = 15;{x_1} = 10;{x_2} = 5\)
-
C.
\(q = 5;{x_1} = 5;{x_2} = 10\)
-
D.
\(q = - 15;{x_1} = - 10;{x_2} = - 5\)
Đáp án : B
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt.
Dùng dữ kiện \({x_1} = 2{x_2}\) kết hợp với hệ thức Vi-et, ta sẽ tìm được các giá trị: \(q,{x_1},{x_2}\).
Để phương trình đã cho có $2$ nghiệm thì: \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {q^2} - 200 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q \ge 10\sqrt 2 \\q \le - 10\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Khi đó phương trình có hai nghiệm: \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = q\\{x_1}.{x_2} = 50\end{array} \right.\)
Với \({x_1} = 2{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + {x_2} = q\\2{x_2}.{x_2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_2} = q\\x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\q = 15\end{array} \right.\) (do \(q > 0\) nên \({x_2} = 5 > 0\))
Khi đó: \({x_1} = 2{x_2} = 2.5 = 10\).
Vậy \(q = 15;{x_1} = 10,{x_2} = 5\)
Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 1} \right) = 0\) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:
-
A.
\(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = -5\)
-
B.
\({x_1} + {x_2} -x_1.x_2= - 1\)
-
C.
\({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 5\)
-
D.
\(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5\)
Đáp án : D
Tìm điều kiện của $m$ để hệ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Viet để tính tổng $2$ nghiệm và tích $2$ nghiệm.
Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để triệt tiêu $m$ từ $2$ phương trình, rút về $1$ phương trình là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt: \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {2m - 1} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 8m + 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 8 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\left( {\forall m} \right)\)
Vậy với mọi $m$ phương trình đã cho luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m + 4\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5\)
Vậy $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$ là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$.
Cho phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu.
-
A.
\(m = 3\)
-
B.
\(m > - 3\)
-
C.
\(m < 3\)
-
D.
\( - 3 < m < 3\)
Đáp án : D
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì ta giải: \(a.c < 0\) tìm giá trị của \(m\).
Phương trình: \({x^2} - 3(m - 5)x + {m^2} - 9 = 0\) có \(a=1;b=-3(m-5);c=m^2-9\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.c < 0\\ \Leftrightarrow 1.({m^2} - 9) < 0\\ \Leftrightarrow (m-3)(m+3)<0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 3 < 0\\
m + 3 > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m - 3 > 0\\
m + 3 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m < 3\\
m > - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < - 3
\end{array} \right.\left( l \right)
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow - 3 < m < 3\)
Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{1}{4}\\
m \ne 0
\end{array} \right.$ -
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}
m > - \dfrac{1}{4}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\) -
C.
$m > - \dfrac{1}{4}$
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}
m > - \dfrac{1}{2}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\)
Đáp án : B
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm thì ta giải: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) tìm giá trị của \(m\).
Xét phương trình: \({x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2m + 1)^2} - 4{m^2} > 0\\ - 2(2m + 1) < 0\\{m^2} > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m + 1 > 0\\2m + 1 > 0\\{m^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m >-1 \\2m > - 1\\m \ne 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{4} \\m > \dfrac{{ - 1}}{2}\\m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ - 1}}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\end{array}$.
Cho phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 8\).
-
A.
$m = 2$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = - 2$
-
D.
$m = 1$
Đáp án : A
- Trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0)\).
- Ta biến đổi biểu thức: \({x_1}^2 + {x_2}^2\) về biểu thức có chứa: ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Xét phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 3m = 0\) ta có:
$\Delta ' = {(m - 1)^2} - 1.\left( {{m^2} - 3m} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3m = m + 1$.
Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$ .
Ta có: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 8$ (*)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:
$\begin{array}{l}{{\rm{[}}2(m - 1){\rm{]}}^2} - 2.\left( {{m^2} - 3m} \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4.({m^2} - 2m + 1) - 2{m^2} + 6m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 6m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow (m + 1)(m - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,(ktm)\\m = 2\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$
Vậy với $m = 2$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Tìm các giá trị của m để đường thẳng \(d:\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - m - 1\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
-
A.
$m > - 1$
-
B.
$m < - 1$
-
C.
$m = 1$
-
D.
$m \ne - 1$
Đáp án : B
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm.
+ Phương trình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow a.c < 0\).
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(a = 1;\,b = - 2\left( {m - 1} \right);\,c = m + 1\)
Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\)
\( \Leftrightarrow 1.\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < - 1\)
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: \(y = 2\left( {m - 3} \right)x + 4m - 8\) cắt đồ thị hàm số (P):\(y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
-
A.
\(m < 3\)
-
B.
$m < 2$
-
C.
\(m < 2;m \ne 1\)
-
D.
\(2 < m < 3\)
Đáp án : C
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm.
+ Phương trình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S = {x_1} + {x_2} < 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(a = 1;b = - 2\left( {m - 3} \right);c = 8 - 4m\)
Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm \( \Leftrightarrow \)Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng âm\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = b{'^2} - ac > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\\S = {x_1} + {x_2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ { - \left( {m - 3} \right)} \right]^2} - \left( {8 - 4m} \right) > 0\\8 - 4m > 0\\2\left( {m - 3} \right) < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 8 + 4m > 0\\ - 4m > - 8\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\end{array} \right.\)
Cho phương trình: \(x - 2\sqrt x + m - 3 = 0\) (1)
Điều kiện của $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt là:
-
A.
\(3 \le m \le 4\)
-
B.
\(3 \le m < 4\)
-
C.
\(3 < m \le 4\)
-
D.
\(3 < m < 4\)
Đáp án : B
Đặt: \(\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)\).
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn $t$.
Biện luận để phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì phương trình với ẩn $t$ phải có 2 nghiệm phân biệt không âm.
Áp dụng định lí Vi-et để giải ra điều kiện của $m$.
Đặt: \(\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)\) ta được: \({t^2} - 2t + m - 3 = 0\) (2)
Để phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(t \ge 0\).
Phương trình (2 ) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(t \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P \ge 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) > 0\\2 > 0\\m - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m < 4\)
Cho phương trình: \({x^2} + x - \dfrac{{18}}{{{x^2} + x}} = 3\) (1)
Phương trình trên có số nghiệm là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : B
Đặt: \(t = {x^2} + x\left( {t \ne 0} \right)\).
Đưa phương trình (1) thành phương trình bậc hai với ẩn $t$ để giải.
Thay các giá trị t tìm được vào để giải tìm $x$.
Điều kiện: \({x^2} + x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
Đặt: \(t = {x^2} + x\left( {t \ne 0} \right)\) ta được: \(t - \dfrac{{18}}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 18 = 0\)
\( \Leftrightarrow (t - 6)(t + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn \(t \ne 0\)).
+ Nếu \(t = - 3 \Rightarrow {x^2} + x = - 3 \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0\) (Vô nghiệm).
+ Nếu \(t = 6 \Rightarrow {x^2} + x = 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Cho phương trình: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1\) (1)
Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1).
Giá trị của $S$ là:
-
A.
\(S = - 11\)
-
B.
\(S = 11\)
-
C.
\(S = - \dfrac{{11}}{3}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{11}}{3}\)
Đáp án : C
Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình, ta chia cả tử và mẫu của $2$ phân số vế trái cho $x$ để xuất hiện ẩn phụ.
Đặt: \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\), đưa phương trình về phương trình bậc hai với ẩn $t$.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - x + 2 \ne 0\\3{x^2} + 5x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
Xét \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình.
Xét \(x \ne 0\) ta có: \(\dfrac{{2x}}{{3{x^2} - x + 2}} - \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1 \)\(\Rightarrow \dfrac{2}{{3x - 1 + \dfrac{2}{x}}} - \dfrac{7}{{3x + 5 + \dfrac{2}{x}}} = 1\).
Đặt \(t = 3x + \dfrac{2}{x}\) ta được: $\dfrac{2}{{t - 1}} - \dfrac{7}{{t + 5}} = 1 \Rightarrow 2\left( {t + 5} \right) - 7\left( {t - 1} \right) = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 5} \right)$.
\( \Leftrightarrow 2t + 10 - 7t + 7 = {t^2} + 5t - t - 5 \Leftrightarrow {t^2} + 9t - 22 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)(t + 11) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 11\end{array} \right.\)
\( \circ \) Nếu \(t = 2 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = 2 \Rightarrow 3{x^2} - 2x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = 0\) (Vô nghiệm).
\( \circ \) Nếu \(t = - 11 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = - 11 \Rightarrow 3{x^2} + 11x + 2 = 0 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\) (Thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm \(x = \dfrac{{ - 11 \pm \sqrt {97} }}{6}\).
Suy ra tổng $2$ nghiệm \(S = - \dfrac{{11}}{3}\).
Phương trình \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
1 nghiệm
-
B.
3 nghiệm
-
C.
4 nghiệm
-
D.
2 nghiệm
Đáp án : C
+) Xét: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.
+) Với: \(x \ne 0\) ta chia 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) để đưa về phương trình bậc thấp hơn sau đó giải phương trình đó để tìm \(x\).
Phương trình: \({x^4} - 3{x^3} - 2{x^2} + 6x + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right).\)
Ta thấy: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.
Với: \(x \ne 0\), ta chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 3\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt: \(x - \dfrac{2}{x} = t\) \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\).
Có: \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biết: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 2\end{array} \right..\)
+) Với \(t = 1 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
+) Với \(t = 2 \Rightarrow x - \dfrac{2}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0\).
Có: \(\Delta ' = 1 + 2 = 3 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 - \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Tập nghiệm của phương trình \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 35\) là:
-
A.
S = \(\left\{ {\dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}\)
-
B.
S = \(\left\{ {1;\dfrac{{ - 5 + \sqrt {39} }}{2};\dfrac{{ - 5 - \sqrt {39} }}{2}} \right\}\)
-
C.
S = \(\left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}\)
-
D.
S = \(\left\{ { - 1;\dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}\)
Đáp án : A
- Ghép \((x + 2)(x + 5)\) lại thành một cặp, \((x + 3)(x + 4)\) lại thành một cặp, sau đó đặt ẩn phụ \(t\) đưa về được phương trình bậc hai ẩn \(t\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) thì quay lại tìm được \(x\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) = 35\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt: \({x^2} + 7x + 10 = t \Rightarrow {x^2} + 7x + 12 = t + 2.\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {t + 2} \right) = 35 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 35 = 0.\)
Có: \(\Delta ' = 1 + 35 = 36 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1 + \sqrt {36} = 5\\{t_2} = - 1 - \sqrt {36} = - 7\end{array} \right..\)
+) Với: \(t = 5 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 5 = 0\)
Có: \(\Delta = {7^2} - 4.5 = 29 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}\end{array} \right.$
+) Với: \(t = - 7 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 17 = 0\).
Có: \(\Delta = {7^2} - 4.17 = - 19 < 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}.\)
Tập nghiệm của phương trình: \(\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\) là:
-
A.
$S = \left\{ { - 5;2} \right\}\,$
-
B.
\(S = \left\{ { - 3;7\,} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ {1;4\,} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ { - 2;7\,} \right\}\)
Đáp án : B
Tìm điều kiện xác cho phân thức, sau đó quy đồng đưa về dạng hai phân thức bằng nhau.
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{12(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} - \dfrac{{8(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ \Leftrightarrow 12(x + 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x + 1)\\ \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0\end{array}$.
Có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} + 21 = 25 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 2 + \sqrt {25} = 7\,\,\,\left( {tm} \right);\,\,\,\,{x_2} = 2 - \sqrt {25} = - 3\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {\( - 3;7\,\)}.
Cho phương trình: \(x - 3\sqrt x + m - 4 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
-
A.
\(m > 4\)
-
B.
\(4 \le m < \dfrac{{25}}{4}\)
-
C.
\(m < \dfrac{{25}}{4}\)
-
D.
\(m \le 4\) hoặc \(m \ge \dfrac{{25}}{4}\)
Đáp án : B
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} - 3t + m - 4 = 0\). Giải và biện luận nghiệm theo phương trình bậc hai ẩn \(t\).
\(x - 3\sqrt x + m - 4 = 0\) (1). Đk: \(x \ge 0.\)
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + m - 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt không âm.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right) > 0\\3 > 0\,\,\,\forall m\\m - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m + 16 > 0\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{25}}{4}\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le m < \dfrac{{25}}{4}.\)
Định m để đường thẳng (d): \(y = \left( {m + 1} \right)x - 2m\) cắt parabol (P): \(y = {x^2}\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho: \({x_1},{x_2}\) là độ dài hai góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
-
A.
\(m = - 4\)
-
B.
\(m = 6\)
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
\(m = 2\)
Đáp án : B
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm.
+ Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
+ Sử dụng định lý Pytago và hệ thức Vi-et để tính toán.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\).
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 25\).
Do đó, m phải thỏa mãn các điều kiện sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 8m > 0\\m + 1 > 0\\2m > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt 8 \\m > 3 + \sqrt 8 \end{array} \right.\\m > - 1\\m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 6\)
Cho phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\).
Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 5{x_1}{x_2} = - 1\).
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
\(m = \dfrac{5}{4}\)
-
C.
\(m = - 4\)
-
D.
\(m = \dfrac{{ - 7}}{4}\)
Đáp án : B
- Trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \({x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0)\).
- Ta biến đổi biểu thức \(2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2}\) về biểu thức có chứa ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Xét phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) ta có:
$\Delta ' = {m^2} - 1.\left( {2m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}$
Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1$ .
Ta có:
\(\begin{array}{l}2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\rm{[}}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}{\rm{]}} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9{x_1}{x_2} = - 1\,\,\,(*)\end{array}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:
$\begin{array}{l}2{(2m)^2} - 9\left( {2m - 1} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 2.4{m^2} - 18m + 9 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 18m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (m - 1)(4m - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,(ktm)\\m = \dfrac{5}{4}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$
Vậy với $m = \dfrac{5}{4}$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Cho phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\). Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm nhỏ hơn $2$.
-
A.
\(m < 2\)
-
B.
\(m > - 3\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3} < m < 2\)
-
D.
\(m > \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : D
- Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0)\).
- Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều nhỏ hơn $2 \Leftrightarrow {x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.$.
- Ta biến đổi biểu thức trên về biểu thức có chứa ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Xét phương trình: \({x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0\) ta có:
$\begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 1 \\= {m^2} - 2m + 1 + m + 1 = {m^2} - m + 2\\\Delta '\, = {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \\= {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\,\\ \Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\end{array}$.
Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt: \(x{}_1,\,{x_2}\) với mọi giá trị của \(m\).
Từ giả thiết ta có:
$\begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0\\ - m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m > - 1\end{array} \right.\end{array}$
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = - (m + 1)\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:
$\begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\end{array}$
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
m > - 1\\
m > \dfrac{1}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow m > \dfrac{1}{3}\)
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập hay và khó chương 4: Sự tương giao của đường thẳng và parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Hệ phương trình đối xứng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 8 Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón Toán 9
- Trắc nghiệm Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Toán 9
- Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 7 Toán 9
