Trắc nghiệm Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 1

Xét $\Delta AID$ và $\Delta ACI$ có: $\widehat {IAD}$ chung và $\widehat {AIC} = \widehat {ADB} = {90^0}$ nên $\Delta AID \backsim \Delta ACI\left( {g - g} \right)$

Suy ra: $\dfrac{{AI}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AI}} \Leftrightarrow A{I^2} = AC.AD$  (1)

Xét $\Delta AEK$ và $\Delta AKB$ có: $\widehat {EAK}$ chung và $\widehat {AIC} = \widehat {ADB} = {90^0}$ nên $\Delta AEK \backsim \Delta AKB\left( {g - g} \right)$

Suy ra: $\dfrac{{AE}}{{AK}} = \dfrac{{AK}}{{AB}} \Leftrightarrow A{K^2} = AE.AB$ (2)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat {\rm{A}}$ là góc chung, $\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}$

$\Rightarrow$ $\Delta ABD \backsim \Delta ACE\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$ $\Rightarrow AE.{\rm{ }}AB = AC.{\rm{ }}AD$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $A{I^2} = A{K^2} \Rightarrow AI = AK$ nên tam giác $AIK$ cân tại $A.$

+) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat {\rm{A}}$ là góc chung, $\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}$

$\Rightarrow$ $\Delta ABD \backsim \Delta ACE$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ACB$ có: $\widehat A$ chung và $\dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\left( {cmt} \right)$ nên $\Delta AED \backsim \Delta ACB\left( {c - g - c} \right)$

Từ đó: $\widehat {AED} = \widehat {ACB}$ (hai góc tương ứng)

Nên $\widehat {ACB} = {40^0}$. Lại có: $\Delta DBC$ vuông tại $D$ nên $\widehat {DCB} + \widehat {DBC} = {90^0}$$\Rightarrow \widehat {DBC} = {90^0} - {40^0} = {50^0}$

Hay $\widehat {HBC} = {50^0}$.

Kẻ $AH$ cắt $BC$ tại $N.$ Vì $H$ là giao điểm hai đường cao $BD,CE$ nên $H$ là trực tâm tam giác $ABC.$

Suy ra: $AH \bot BC$ hay $AN \bot BC.$

Xét $\Delta BHN$ và $\Delta BCD$ có: $\widehat B$ chung và $\widehat {HNB} = \widehat {BDC} = {90^0}$ nên $\Delta BHN \backsim \Delta BCD \left( {g - g} \right)$

Suy ra: $\dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BN}}{{BD}} \Rightarrow BH.BD = BN.BC$  (1)

Xét $\Delta CHN$ và $\Delta CBE$ có: $\widehat C$ chung và $\widehat {HNC} = \widehat {BEC} = {90^0}$ nên $\Delta CHN \backsim \Delta CBE \left( {g - g} \right)$

Suy ra: $\dfrac{{CH}}{{CB}} = \dfrac{{CN}}{{CE}} \Rightarrow CH.CE = CN.BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BH.BD + CH.CE = BN.BC + CN.BC$$= BC\left( {CN + BN} \right) = BC.BC = B{C^2}$.

Vậy $BH.BD + CH.CE = B{C^2}.$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat {\rm{A}}$ là góc chung, $\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}$

$\Rightarrow$ $\Delta ABD \backsim \Delta ACE$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$$\Rightarrow AE.{\rm{ }}AB = AC. {\rm{ }}AD$.