Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ


Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)

* Tập xác định  \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{ - d}}{c}} \right\}\)

* Sự biến thiên

+) \(y' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

+) Đường tiệm cận: tiệm cận đứng \(x =  - \dfrac{d}{c}\); tiệm cận ngang \(y = \dfrac{a}{c}\).

+) Tâm đối xứng \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\).

+) Bảng biến thiên :

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

+ Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_0}\) song song với trục \(Oy\), khi đó \({x_0}\) là nghiệm của mẫu thức.

+ Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = {y_0}\) song song với trục \(Ox\), khi đó \({y_0} = \dfrac{a}{c}\).

- Bước 2: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ.

+ Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là \(\left( {0;\dfrac{b}{d}} \right)\).

+ Giao điểm của đồ thị với trục \(Ox\) là \(\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\).

- Bước 3: Xét tính đơn điệu của hàm số.

+ Hai nhánh đồ thị hướng lên từ trái qua phải thì hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow ad - bc > 0\).

+ Hai nhánh đồ thị hướng xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến \( \Leftrightarrow ad - bc < 0\).

Khi thực hành, HS có thể áp dụng từng bước để loại trừ đáp án, đến khi chọn được đáp án đúng thì kết luận, không nhất thiết phải thực hiện cả 3 bước nếu đã có được đáp án.

Dạng 2: Tìm hàm số có bảng biến thiên cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Tại điểm \({x_0}\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  \pm \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  \pm \infty \) thì \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, khi đó \({x_0}\) là nghiệm của mẫu thức.

+ Nếu có \(y = {y_0}\) tại điểm \(x =  \pm \infty \) thì \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, khi đó \({y_0} = \dfrac{a}{c}\).

- Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số.

+ Nếu trên cả 2 khoảng \(\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\), đạo hàm đều mang dấu \( + \) thì hàm số đồng biến trên 2 khoảng đó, khi đó \(ad - bc > 0\).

+ Nếu trên cả 2 khoảng \(\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\), đạo hàm đều mang dấu \( - \) thì hàm số nghịch biến trên 2 khoảng đó, khi đó \(ad - bc < 0\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua