Bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.2 trên 13 phiếu

Giải bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) \(y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\);               b) \(y= {x^4} - 2{x^2} + 2\);

c) \(y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\);                 d) \(y =  - 2{x^2} - {x^4} + 3\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có.

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y;\ \ \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,y....\) 

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).\)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết

 a) Tập xác định: \(D=\mathbb R\) ;

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\);

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\) .

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\).

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\)

- Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  - \infty \)

Bảng biến thiên :

      

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

 Đồ thị 

b) Tập xác định: \(D=\mathbb R\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1)\);

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\)  và \((0;1)\).

- Cực trị: 

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=2\).

    Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CT}=y(\pm 1)=1\).

-Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

Bảng biến thiên :

      

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)

Đồ thị 

c) Tập xác định: \(D=\mathbb R\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1)\);

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\); đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).

-Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}={-3\over 2}\)

-Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

Bảng biến thiên :

 

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((1;0)\); giao \(Oy\) tại \((0;{-3\over 2})\).

Đồ thị như hình bên.

d) Tập xác định: \(D=\mathbb R\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2)\);

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {1 + {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\); nghịch biến trên khoảng: \((0;+\infty)\).

- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=3\).

- Giới hạn: 

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  -\infty \)

Bảng biến thiên :

         

Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((1;0)\) và \((-1;0)\); giao \(Oy\) tại điểm \((0;3)\).

 Đồ thị như hình bên.

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Các bài liên quan