Bài 3.34 trang 160 SBT hình học 11

Giải bài 3.34 trang 160 sách bài tập hình học 11. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên (SA = SB = SC = S{rm{D}} = asqrt 2 ). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC...

Đề bài

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên \(SA = SB = SC = S{\rm{D}} = a\sqrt 2 \). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Chứng minh mặt phẳng (SIK) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên \(SK \bot BC\).

Ta có

\(\left. \matrix{
BC \bot SK \hfill \cr
BC \bot OK \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SIK} \right)\)

Do đó \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SIK} \right)\)

b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).

Theo câu a) ta có \(\left( {SIK} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức \(IM.SK = SO.IK\), ta có \(IM = {{SO.IK} \over {SK}}\).

Ta lại có: \(S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = 2{{\rm{a}}^2} - {{{a^2}} \over 4} = {{7{a^2}} \over 4} \Rightarrow SK = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)

Và \(S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} = 2{{\rm{a}}^2} - {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2}\)

\(\Rightarrow SO = {{a\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)

Do đó: \(IM = {{SO.IK} \over {SK}} = {{a\sqrt 6 } \over 2}.a:{{a\sqrt 7 } \over 2} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng \({{a\sqrt {42} } \over 7}\).

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3.35 trang 160 SBT hình học 11
Giải bài 3.35 trang 160 sách bài tập hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh đường thẳng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)...
Bài 3.36 trang 160 SBT hình học 11
Giải bài 3.36 trang 160 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) ...
Bài 3.37 trang 160 SBT hình học 11
Bài 3.37 trang 160 sách bài tập hình học 11. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.
Bài 3.38 trang 160 SBT hình học 11
Giải bài 3.38 trang 160 sách bài tập hình học 11. Tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD của hình tứ diện ABCD biết rằng AC=BC=AD=BD=a và AB=p; CD=q.
Bài 3.39 trang 160 SBT hình học 11
Giải bài 3.39 trang 160 sách bài tập hình học 11. Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC...
Bài 3.40 trang 160 SBT hình học 11
Giải bài 3.40 trang 160 sách bài tập hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60°...
Bài 3.33 trang 160 SBT hình học 11
Giải bài 3.33 trang 160 sách bài tập hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm A’, B, D; C, B’, D tới đường chéo AC’ bằng nhau. Tính khoảng cách đó.