Bài 3.17 trang 145 SBT hình học 11


Đề bài

Cho tam giác ABC. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất: Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng và ngược lại.

Lời giải chi tiết

Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) không thể trùng nhau vì nếu chúng trùng nhau thì từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với một mặt phẳng, điều đó là vô lí.

Mặt khác \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cũng không song song với nhau.

Vì nếu \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\), thì từ \(CB \bot \left( \beta  \right)\) ta suy ra \(CB \bot \left( \alpha  \right)\)

Như vậy từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\), điều đó là vô lí.

Vậy \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là hai mặt phẳng không trùng nhau, không song song với nhau và chúng phải cắt nhau theo giao tuyến d, nghĩa là \(d = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\)

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d \subset \left( \alpha \right) \hfill \cr 
CA \bot \left( \alpha \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow CA \bot d\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr 
& \left\{ \matrix{
d \subset \left( \beta \right) \hfill \cr 
CB \bot \left( \beta \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow CB \bot d\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Từ (1) và (2) suy ra \(d \bot \left( {ABC} \right)\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 3.18 trang 145 SBT hình học 11

    Giải bài 3.18 trang 145 sách bài tập hình học 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:...

  • Bài 3.19 trang 145 SBT hình học 11

    Giải bài 3.19 trang 145 sách bài tập hình học 11. Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC).

  • Bài 3.20 trang 145 SBT hình học 11

    Giải bài 3.20 trang 145 sách bài tập hình học 11. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC...

  • Bài 3.21 trang 145 SBT hình học 11

    Giải bài 3.21 trang 145 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đó.

  • Bài 3.16 trang 145 SBT hình học 11

    Giải bài 3.16 trang 145 sách bài tập hình học 11. Chứng minh ba điểm A’, O, B’ thẳng hàng và AA’ = BB’

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.