Bài 3 trang 199 SBT hình học 11


Đề bài

Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC).

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}}\)

c) Chứng minh rằng (SSBC)2 = (SHBC). (SABC) và

(SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 + (SSCA)2

d) Chứng minh rằng

SG2 = (SA2 + SB2 + SC2)/9 (G là trọng tâm của tam giác ABC) và

(AB + BC + CA)2 ≤ 6(SA2 + SB2 + SC2).

e) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn và

SA2tanA = SB2tanB = SC2tanC = 2SABC

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh: CH AB & AH BC

Ta có: AB SC (do SH (ABC)) & AB SH (do SC (SAB))

AB (SCH) AB CH (1)

Tương tự, ta có BC (SAH) nên AH BC (2)

Từ (1) và (2) cho ta H là trực tâm ΔABC.

b) Giả sử CH kéo dài cắt AB tại C’, ta có

AB CC' (do H là trực tâm) & AB SC' (do AB (SCH))

Trong tam giác SCC’, ta có \(\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{C^2}}} + \dfrac{1}{{SC{'^2}}}\) (3)

Mà SC’ là đường cao trong tam giác vuông SAB nên

Tương tự, ta có (SSCA )2 = SHCA. SABC (7)

(SSAB )2 = SHAB. SABC (8)

Cộng (6), (7), (8) vế theo vế, ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {{S_{SBC}}} \right)^2} + {\left( {{S_{SCA}}} \right)^2} + {\left( {{S_{SAB}}} \right)^2}\\ = {S_{ABC}}\left( {{S_{HBC}} + {S_{HCA}} + {S_{HAB}}} \right)\\ = {S_{ABC}}.{S_{ABC}} = {\left( {{S_{ABC}}} \right)^2}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2AB. BC ≤ AB2 + BC2

2CA. AB ≤ CA2 + AB2

2BC. CA ≤ BC2 + CA2

Suy ra (AB + BC + CA)2 = AB2 + BC2 + CA2 + 2(AB.BC + BC.CA + CA.AB)

≤ 3(AB2 + BC2 + CA2)

≤ 3(SA2 + SB2 + SB2 + SC2 + SC2 + SA2)

≤ 6(SA2 + SB2 + SC2).

e) Đặt SA = a, SB = b, SC = c

Trong ΔABC, ta có: \(\cos A = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\) \( = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}  > 0}}\)

Tương tự cosB > 0, cosC > 0.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

Mặt khác, ta có: 

\(\begin{array}{l}S{A^4}.{\tan ^2}A = {a^4}\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}} - 1} \right)\\ = {a^4}\left[ {\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}}{{{a^4}}} - 1} \right]\end{array}\)

= (a2 + b2)(a2 + c2) - a4 = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2

= 4(SSAB2 + SSBC2 + SSCA2) = 4(SABC)2

⇒ SA2tanA = 2SABC.

Tương tự, ta có: SB2tanB = SC2tanC = 2SABC.

Vậy SA2tanA = SB2tanB = SC2tanC = 2SABC.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập cuối năm Hình học 11

  • Bài 4 trang 200 SBT hình học 11

    Giải bài 4 trang 200 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a...

  • Bài 5 trang 200 SBT hình học 11

    Giải bài 5 trang 200 sách bài tập hình học 11. Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, AB = a√3, ∠BAD = 120o. Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ADD'A') là 30 o. Gọi M là trung điểm A'D', N là trung điểm BB'. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (C'MA)

  • Bài 6 trang 200 SBT hình học 11

    Giải bài 6 trang 200 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC tạo với (SAD) góc 30o. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD).

  • Bài 7 trang 200 SBT hình học 11

    Giải bài 7 trang 200 sách bài tập hình học 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA' = a√2. Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.

  • Bài 8 trang 200 SBT hình học 11

    Giải bài 8 trang 200 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rẳng MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

  • Bài 9 trang 200 SBT hình học 11

    Giải bài 9 trang 200 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là 60o. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN.

  • Bài tập trắc nghiệm trang 201, 202, 203, 204, 205 SBT Hình học 11

    Giải bài tập trắc nghiệm trang 201, 202, 203, 204, 205 sách bài tập Hình học 11

  • Bài 2 trang 199 SBT hình học 11

    Giải bài 2 trang 199 sách bài tập hình học 11. Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB = 2a, BC = CD = DA = a...

  • Bài 1 trang 199 SBT hình học 11

    Giải bài 1 trang 199 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là chân đường cao của hình chóp. Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại E, F, I, J. Gọi K = EI ∩ FJ. Đặt SE = a, SF = b, SI = c, SJ = d, SK = k, ∠ASH = α...

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài