Bài 1.55 trang 21 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.55 trang 21 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số

\(y = x + 1 + {4 \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ: \(x =  - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\) nên TCX: \(y = x + 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 3,{y_{CD}} =  - 4\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({y_{CT}} = 4\).

+) Đồ thị:

LG b

Chứng minh rằng với mọi giao điểm I của hai đường tiệm cận của (H) làm tâm đối xứng của (H).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận.

Tọa độ của I thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( { - 1;0} \right)\).

Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y\end{array} \right.\)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ \(IXY\) là:

\(\begin{array}{l}Y = X - 1 + 1 + \frac{4}{{X - 1 + 1}}\\ \Leftrightarrow Y = X + \frac{4}{X}\end{array}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài