Bài 1.57 trang 21 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.57 trang 21 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(f(x) = {{{x^2} - 1} \over x}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{x} = x - \frac{1}{x}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  + \infty \) nên TCĐ: \(x = 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{1}{x}} \right) = 0\) nên TCX: \(y = x\).

Ta có:

\(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) và không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};{f_{\left( {{x_0}} \right)}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x = {x_0}\) ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\)

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 1 + \frac{1}{{x_0^2}}\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}} + {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - \frac{2}{{{x_0}}}\end{array}\)

Vậy \(y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - \frac{2}{{{x_0}}}\).

LG c

Tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (C) theo thứ tự tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và diện tích tam giác OAB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường cong (C).

Lời giải chi tiết:

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình

\(\left( {1 + {1 \over {x_0^2}}} \right)x - {2 \over {{x_0}}} = x \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{x_0^2}}x = \frac{2}{{{x_0}}} \Leftrightarrow x = 2{x_0}\)

\(\Rightarrow {x_B} = 2{x_0}\)

Vì \({x_A} + {x_B} = 0 + 2{x_0} = 2{x_M}\) , và ba điểm A, M, B thẳng hàng nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Dễ thấy \({y_A} =  - {2 \over {{x_0}}}\)

Diện tích tam giác OAB là

\(S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| \)

\(= {1 \over 2}.{2 \over {\left| {{x_0}} \right|}}.2\left| {{x_0}} \right| = 2\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài