Bài 1.57 trang 21 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.57 trang 21 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(f(x) = {{{x^2} - 1} \over x}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{x} = x - \frac{1}{x}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  + \infty \) nên TCĐ: \(x = 0\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{1}{x}} \right) = 0\) nên TCX: \(y = x\).

Ta có:

\(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) và không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};{f_{\left( {{x_0}} \right)}}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x = {x_0}\) ta có \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\)

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 1 + \frac{1}{{x_0^2}}\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}} + {x_0} - \frac{1}{{{x_0}}}\\ \Leftrightarrow y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - \frac{2}{{{x_0}}}\end{array}\)

Vậy \(y = \left( {1 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right)x - \frac{2}{{{x_0}}}\).

LG c

Tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (C) theo thứ tự tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và diện tích tam giác OAB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường cong (C).

Lời giải chi tiết:

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình

\(\left( {1 + {1 \over {x_0^2}}} \right)x - {2 \over {{x_0}}} = x \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{x_0^2}}x = \frac{2}{{{x_0}}} \Leftrightarrow x = 2{x_0}\)

\(\Rightarrow {x_B} = 2{x_0}\)

Vì \({x_A} + {x_B} = 0 + 2{x_0} = 2{x_M}\) , và ba điểm A, M, B thẳng hàng nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Dễ thấy \({y_A} =  - {2 \over {{x_0}}}\)

Diện tích tam giác OAB là

\(S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| \)

\(= {1 \over 2}.{2 \over {\left| {{x_0}} \right|}}.2\left| {{x_0}} \right| = 2\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.