Bài 1.56 trang 21 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.56 trang 21 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng với mọi m > 0, hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Chứng minh rằng với mọi m > 0, hàm số

                    \(y = {{{mx^2} + (2m - 1)x - 1} \over {x + 2}}\)              

có cực đại và cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng

\(y = mx - 1 + {1 \over {x + 2}}\)

Khi đó

\(y' = m - {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{m{x^2} + 4mx + 4m - 1} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}
y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\\
\Delta ' = 4{m^2} - m\left( {4m - 1} \right) = m
\end{array}\)

Với  m > 0 thì \(\Delta ' >0\), phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} =  - 2 - {1 \over {\sqrt m }};{x_2} =  - 2 + {1 \over {\sqrt m }}\)

Hàm số đạt cực đại tại \({x_1}\) và đạt cực tiểu tại \({x_2}\).

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 1\) ta được hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ: \(x =  - 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\) nên TCX: \(y = x - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 1\\x + 2 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 3,{y_{CD}} =  - 5\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), \({y_{CT}} =  - 1\).

+) Đồ thị:

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài