Bài 1.54 trang 23 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên đáy \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\) và cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích của hình lăng trụ là:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\)                      B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\)                      D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định góc giữa cạnh bên và đáy (bằng góc giữa cạnh bên với hình chiếu của nó trên đáy).

- Tính diện tích tam giác đáy và chiều cao.

- Tính thể tích theo công thức \(V = Bh\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Khi đó \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(A'A\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {A'AG} = {60^0}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(A'AG\) vuông tại \(G\) có \(AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(\widehat {A'AG} = {60^0}\) nên \(A'G = AG\tan {60^0} = a\).

Vậy thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Chọn C.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.