Bài 1.53 trang 23 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(M,N\). Biết rằng \(SA = AC = 5\), \(AB = 3,BC = 4\). Thể tích khối chóp \(S.AMN\) bằng

A. \(\dfrac{{125}}{{68}}\)                     B. \(\dfrac{{125}}{{34}}\)

C. \(\dfrac{{175}}{{34}}\)                     D. \(\dfrac{{125}}{{17}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính tỉ số diện tích hai tam giác \(SMN\) và \(SBC\).

- Từ đó suy ra tỉ số thể tích khối chóp \(S.AMN\) so với \(S.ABC\).

- Tính \({V_{S.ABC}}\) và kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(SC \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot AM\\SC \bot MN\end{array} \right.\).

Tam giác \(ABC\) có:

\(A{C^2} =5^2=25\)

\(A{B^2} + B{C^2}=3^2+4^2=25 \)

nên \(AC^2=AB^2+BC^2\) hay tam giác ABC vuông tại \(B\).

Suy ra \(AB \bot BC\), mà \(SA \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Xét tam giác SMN và SCB có: \(\widehat {SNM} = \widehat {SBC} = {90^0}\) và chung góc S

\( \Rightarrow \Delta SMN \backsim \Delta SCB\left( {g - g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2}\)

Tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\) có \(AN \bot SC\) \( \Rightarrow SN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}}  = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAB\) có \(SA = 5,AB = 3 \Rightarrow SB = \sqrt {34} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{68}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{68}}\).

Mà \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} \) \(= \dfrac{1}{3}.5.\dfrac{1}{2}.3.4 = 10\) nên \({V_{S.AMN}} = \dfrac{{25}}{{68}}.10 = \dfrac{{125}}{{34}}\).

Chọn B.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.