Bài 1.52 trang 23 SBT hình học 12


Giải bài 1.52 trang 23 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A...

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Thể tích của hình chóp bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\)                      B. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{9}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{8}\)                       D. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng tính chất \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\), từ đó xác định khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

- Tính chiều cao và diện tích đáy hình chóp.

- Tính thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm đáy, \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SE\).

Dễ thấy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\) (vì \(AC = 2OC\)) nên \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Lại có \(BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH\), mà \(OH \bot SE\) nên \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) có \(OE = \dfrac{a}{2},OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\) nên:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{OE.OH}}{{\sqrt {O{E^2} - O{H^2}} }}\) \( = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{6{a^2}}}{{36}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Chọn D.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí