Bài 1.52 trang 23 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Thể tích của hình chóp bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\)                      B. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{9}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{8}\)                       D. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng tính chất \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\), từ đó xác định khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

- Tính chiều cao và diện tích đáy hình chóp.

- Tính thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm đáy, \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SE\).

Dễ thấy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\) (vì \(AC = 2OC\)) nên \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Lại có \(BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OH\), mà \(OH \bot SE\) nên \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).

Do đó \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) có \(OE = \dfrac{a}{2},OH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\) nên:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{E^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{OE.OH}}{{\sqrt {O{E^2} - O{H^2}} }}\) \( = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{6{a^2}}}{{36}}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Chọn D.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.