Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 5: Khoảng cách

Câu 70 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 70 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng (P) đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn (P) như thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

 

Xét (P) là mặt phẳng chứa một đường chéo, chẳng hạn đường chéo BD’ của hình lập phương.

Nếu (P) chứa D’A’ thì thiết diện có diện tích là \({a^2}\sqrt 2 .\)

Tương tự, nếu (P) chứa D’C’ hoặc D’D thì thiết diện cũng có diện tích là \({a^2}\sqrt 2 \).

Ta xét (P) cắt AA’ tại điểm M. Gọi O là tâm hình lập phương thì MO cắt CC’ tạo N. Do đó thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi (P) là BMD’N, đó là hình bình hành.

Ta có \({S_{BM{\rm{D}}'N}} = B{\rm{D}}'.MK = d.MK\)

(d là độ dài đường chéo của hình lập phương).

Vậy \({S_{BM{\rm{D}}'N}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất, tức MK là đường vuông góc chung của BD’ và AA’. Dễ thấy OM­­­0 là đường vuông góc chung của BD’ và AA’, trong đó M0 là trung điểm của AA’; \(O{M_0} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\). Vậy lúc đó:

\({S_{BMD'N}} = a\sqrt 3 .{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 6 } \over 2}\)

Chú ý. Khi (P) cắt A’B' hoặc B’C’ thì cách giải quyết câu toán cũng như trên và ta có diện tích thiết diện nhỏ nhất trong trường hợp đó cũng là \({{{a^2}\sqrt 6 } \over 2}\).

Dễ thấy \({{{a^2}\sqrt 6 } \over 2} < {a^2}\sqrt 2 .\)

Vậy nếu (P) qua đường chéo BD’ và qua trung điểm một cạnh của hình lập phương không đi qua B và D’, thì diện tích thiết diện nhỏ nhất và có giá trị bằng \({{{a^2}\sqrt 6 } \over 2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua