Câu 59 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 59 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = a. Tính:

a) Khoảng cách từ điểm S đến mp(A1CD) trong đó A1 là trung điểm của SA;

b) Khoảng cách giữa AC và SD.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có \(C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \(\left( {C{\rm{D}}{A_1}} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\). Từ đó, khi kẻ đường cao SH của tam giác SA1D thì:

\(SH \bot mp\left( {C{\rm{D}}{A_1}} \right)\).

và \(SH = d\left( {S;mp\left( {C{\rm{D}}{A_1}} \right)} \right)\).

Ta có

\(\eqalign{  & SH.{A_1}D = 2{{\rm{S}}_{S{A_1}D}} = {S_{SA{\rm{D}}}} = {{{a^2}} \over 2}  \cr  & {A_1}D = \sqrt {{a^2} + {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Vậy \(SH = {{{a^2}} \over 2}.{2 \over {a\sqrt 5 }} = {a \over {\sqrt 5 }} = {{a\sqrt 5 } \over 5}.\)

Kẻ qua D đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AB tại B', khi đó \(B'D = a\sqrt 2 ,AB' = a,SB' = a\sqrt 2 ,S{\rm{D}} = a\sqrt 2 \).

Vậy SB’D là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SB’ thì:

\(DI = {{a\sqrt 6 } \over 2},SB' \bot \left( {AI{\rm{D}}} \right)\).

từ đó \(\left( {AI{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SB'D} \right)\).

Vậy khi kẻ đường cao AK của tam giác AID thì AK là khoảng cách từ A đến mp(SB’D). Mặt khác AC // (SB’D) nên AK cũng là khoảng cách giữa AC và SD.

Ta có \({\rm{AI = }}{{a\sqrt 2 } \over 2},A{\rm{D}} = a\)

Vì \(A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(A{\rm{D}} \bot AI\).

Do đó \(AK = {{AI.A{\rm{D}}} \over {DI}} = {{{{a\sqrt 2 } \over 2}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 2}}} = {a \over {\sqrt 3 }}\).

Vậy khoảng cách giữa AC và SD bằng \({{a\sqrt 3 } \over 3}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.