Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 5: Khoảng cách

Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(BC = B{\rm{D}} = AC = A{\rm{D}};AB = a,C{\rm{D}} = a\sqrt 3 \). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.

a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

 

a) 

\(\eqalign{
& \Delta BCD = \Delta ACD(c.c.c) \cr 
& \Rightarrow BJ =AJ \cr} \)

Do đó \(\Delta ABJ\) cân tại J, suy ra \(IJ \bot AB\)

Chứng minh tương tự: \(IJ \bot CD\)

Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}\), đặt \(I{\rm{O}} = x\) ta có đẳng thức

\(\eqalign{  & {{{a^2}} \over 4} + {x^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {3 \over 4}a \cr} \)

Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng

\(\sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{9{{\rm{a}}^2}} \over {16}}}  = {{a\sqrt {13} } \over 4}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua