Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 5: Khoảng cách

Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và A’B.

b) Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A’B’, BC, DD’ sao cho A’M = BN = DP. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định khi M, N, P thay đổi.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

Lời giải chi tiết

 

a) Góc giữa AC’ và A’B bằng 90°. Vì AC’ vuông góc với (A’BD) tại trọng tâm G của tam giác A’BD và A’BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên

\(d\left( {AC';A'B} \right) = GI = {{a\sqrt 6 } \over 6}.\)

b) Đặt \(A'M = BN = DP = x\) thì

\(\eqalign{  & A{N^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{P^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{M^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  &  \Rightarrow AM = AN = AP \cr} \)

Mặt khác

\(N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2}\)

\(= {\left( {a - x} \right)^2} + {a^2} + {x^2}\)

\(N{M^2} = N{B^2} + BB{'^2} + B'{M^2}\)

\(= {x^2} + {a^2} + {\left( {a - x} \right)^2} \)

Tương tự, ta có MN = NP = PM.

Do đó A.MNP là hình chóp đều. Khi ấy đường thẳng nối A với trọng tâm tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Tương tự như trên ta cũng có đường thẳng nối C’ với trọng tâm của tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Vậy trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định AC’.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua