Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và A’B.

b) Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A’B’, BC, DD’ sao cho A’M = BN = DP. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định khi M, N, P thay đổi.

Lời giải chi tiết

 

a) Góc giữa AC’ và A’B bằng 90°. Vì AC’ vuông góc với (A’BD) tại trọng tâm G của tam giác A’BD và A’BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên

\(d\left( {AC';A'B} \right) = GI = {{a\sqrt 6 } \over 6}.\)

b) Đặt \(A'M = BN = DP = x\) thì

\(\eqalign{  & A{N^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{P^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{M^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  &  \Rightarrow AM = AN = AP \cr} \)

Mặt khác

\(N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2}\)

\(= {\left( {a - x} \right)^2} + {a^2} + {x^2}\)

\(N{M^2} = N{B^2} + BB{'^2} + B'{M^2}\)

\(= {x^2} + {a^2} + {\left( {a - x} \right)^2} \)

Tương tự, ta có MN = NP = PM.

Do đó A.MNP là hình chóp đều. Khi ấy đường thẳng nối A với trọng tâm tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Tương tự như trên ta cũng có đường thẳng nối C’ với trọng tâm của tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Vậy trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định AC’.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 5: Khoảng cách

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài