Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 5: Khoảng cách

Câu 67 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 67 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng At vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S với AS = b.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, b.

b) Hz là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mp(SBC). Chứng minh rằng khi S di động trên At thì đường thẳng Hz luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi A1 là trung điểm của BC thì \(BC \bot mp\left( {SA{A_1}} \right)\),  từ đó \(\left( {SA{A_1}} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Kẻ đường cao AI của tam giác SAA1 thì \(AI \bot \left( {SBC} \right)\). Từ đó, khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng AI.

Ta có \(AI = {{AS.A{A_1}} \over {S{A_1}}} = {{b.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over {\sqrt {{b^2} + {{3{a^2}} \over 4}} }}\).

Vậy \(AI = {{ab\sqrt 3 } \over {\sqrt {3{{\rm{a}}^2} + 4{b^2}} }}\).

b) Vì H là trực tâm tam giác SBC nên H thuộc SA1. Do \(\left( {SA{A_1}} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)  và \(H{\rm{z}} \bot \left( {SBC} \right)\) nên Hz nằm trong mp(SAA1). Gọi K là giao điểm của Hz và AA1, ta có \(KH \bot \left( {SBC} \right),BH \bot SC\) nên \(KB \bot SC\) (định lí ba đường vuông góc).

Mặt khác \(SA \bot \left( {ABC} \right),BK \bot SC\) nên \(BK \bot AC\) (định lí ba đường vuông góc). Như vậy K là trực tâm của tam giác ABC.

Vậy khi S di động trên đường thẳng At vuông góc với mp(ABC) thì đường thẳng Hz đi qua điểm cố định là trực tâm K của tam giác ABC.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua