Câu 60 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat A = {60^0}\), góc của đường chéo A’C và mặt phẳng đáy bằng 600.

a) Tính đường cao của hình hộp đó.

b) Tìm đường vuông góc chung của A’C và BB’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy \(\widehat {A'CA} = {60^0}\).

Do ABCD là hình thoi cạnh a và \(\widehat A = {60^0}\) nên \(AC = a\sqrt 3 \).

Đường cao của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ chính là A’A. Mặt khác

\(A'A = AC\tan \widehat {A'CA} = a\sqrt 3 \tan {60^0} = 3{\rm{a}}\) .

b) Ta có BB’ // (A’AC) và \(BO \bot \left( {A'AC} \right)\) với O là tâm của hình thoi ABCD (giao điểm của hai đường chéo).

Kẻ OI // AA’ và kẻ IJ // BO thì dễ dàng chứng minh được IJ là đường vuông góc chung của BB’ và A’C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và A'C chính là BO. Mặt khác \(BO = {a \over 2}\).

Vậy \(d\left( {BB';A'C} \right) = {a \over 2}.\)

Chú ý: Có thể tìm thấy đường vuông góc chung của BB’ và A’C và IJ (I, J lần lượt là trung điểm của A’C và BB’) bằng cách xét tứ diện A’B’BC có:

\(\eqalign{  & A'B' = BC = a,  \cr  & A'B = B'C = \sqrt {{a^2} + BB{'^2}}  \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 5: Khoảng cách

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.