Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 5: Khoảng cách

Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Tính:

a) Góc giữa hai đường thẳng AC và SD;

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD;

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua D, song song với AC và đường thẳng qua A, song song với BC thì AED và SED là hai tam giác vuông tại E, do đó \(\widehat {S{\rm{D}}E}\) là góc giữa SD và AC.

Đặt \(\widehat {S{\rm{D}}E} = \alpha \) thì

\(\tan \alpha  = {{SE} \over {E{\rm{D}}}} = {{\sqrt {{h^2} + {{{a^2}} \over 4}} } \over {{b \over 2}}}\)

hay \(\tan \alpha  = {{\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} } \over b}\)

b) Vì AC // (SDE) nên \(d\left( {AC;S{\rm{D}}} \right) = d\left( {A;\left( {S{\rm{D}}E} \right)} \right)\).

Do \(DE \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right)\) nên \(\left( {S{\rm{D}}E} \right) \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right)\).

Vậy nếu kẻ đường cao AH của tam giác vuông SAE thì AH là khoảng cách giữa AC và SD.

Ta có \(AH = {{AS.AE} \over {SE}} = {{h.{a \over 2}} \over {{1 \over 2}\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }} = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }}\)

Vậy khoảng cách giữa AC và SD là \(AH = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }}\).

c) Gọi I là trung điểm của AC thì BC // (SDI).

Do đó \(d\left( {BC;S{\rm{D}}} \right) = d\left( {C;\left( {S{\rm{D}}I} \right)} \right)\)

Ta có \(DI \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(\left( {S{\rm{D}}I} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Vậy khi kẻ đường cao CK của tam giác SIC thì CK là khoảng cách phải tìm.

Ta có \({S_{SIC}} = {{bh} \over 4},SI = {1 \over 2}\sqrt {4{h^2} + {b^2}} \)

nên \(CK = {{{{bh} \over 2}} \over {{1 \over 2}\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\)

hay \(CK = {{bh} \over {\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\)

Vậy khoảng cách giữac BC và SD bằng \({{bh} \over {\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua