Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 5: Khoảng cách

Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Tính:

a) Góc giữa hai đường thẳng AC và SD;

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD;

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua D, song song với AC và đường thẳng qua A, song song với BC thì AED và SED là hai tam giác vuông tại E, do đó \(\widehat {S{\rm{D}}E}\) là góc giữa SD và AC.

Đặt \(\widehat {S{\rm{D}}E} = \alpha \) thì

\(\tan \alpha  = {{SE} \over {E{\rm{D}}}} = {{\sqrt {{h^2} + {{{a^2}} \over 4}} } \over {{b \over 2}}}\)

hay \(\tan \alpha  = {{\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} } \over b}\)

b) Vì AC // (SDE) nên \(d\left( {AC;S{\rm{D}}} \right) = d\left( {A;\left( {S{\rm{D}}E} \right)} \right)\).

Do \(DE \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right)\) nên \(\left( {S{\rm{D}}E} \right) \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right)\).

Vậy nếu kẻ đường cao AH của tam giác vuông SAE thì AH là khoảng cách giữa AC và SD.

Ta có \(AH = {{AS.AE} \over {SE}} = {{h.{a \over 2}} \over {{1 \over 2}\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }} = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }}\)

Vậy khoảng cách giữa AC và SD là \(AH = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }}\).

c) Gọi I là trung điểm của AC thì BC // (SDI).

Do đó \(d\left( {BC;S{\rm{D}}} \right) = d\left( {C;\left( {S{\rm{D}}I} \right)} \right)\)

Ta có \(DI \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(\left( {S{\rm{D}}I} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Vậy khi kẻ đường cao CK của tam giác SIC thì CK là khoảng cách phải tìm.

Ta có \({S_{SIC}} = {{bh} \over 4},SI = {1 \over 2}\sqrt {4{h^2} + {b^2}} \)

nên \(CK = {{{{bh} \over 2}} \over {{1 \over 2}\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\)

hay \(CK = {{bh} \over {\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\)

Vậy khoảng cách giữac BC và SD bằng \({{bh} \over {\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store