Câu 5.46 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hàm số

              \(y = f\left( x \right) = {1 \over {x\sqrt 2 }}\) và \(y = g\left( x \right) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hai hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Lời giải chi tiết

Hoành độ giao điểm hai đồ thị của haio hàm số đã cho là

               \({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Tung độ giao điểm tương ứng là \(y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Ta có

\( \bullet \)       \(f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {\sqrt 2 .{x^2}}},\) suy ra \(f'\left( 1 \right) =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại giao điểm là

\(y =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,hay\,\,y =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\left( {x - 2} \right)\)

\( \bullet \) \(g'\left( x \right) = x\sqrt 2 ,\,\,suy\,ra\,\,g'\left( 1 \right) =  \sqrt 2 \)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại giao điểm là

\(y = \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) + {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,hay\,\,y = \sqrt 2 x - {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Mặt khác   \(f'\left( 1 \right).g'\left( 1 \right) =  - {1 \over {\sqrt 2 }}.\sqrt 2  =  - 1\)

Nên hai tiếp tuyến của đò thị hàm số đã cho vuông góc với nhau, suy ra góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \({90^0}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương V - Đạo hàm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.