Câu 5.41 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho hàm số

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số

             \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr - {x^3} + bx + c\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

LG a

Tìm điều kiện của b và c để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) hay

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

ta có

 \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2} = 0  \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^3} + bx + c} \right) = c  \cr& f\left( 0 \right) = {0^2} = 0 \cr} \)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) nếu \(c = 0\) còn b tùy ý.

LG b

Xác định b và c để \(f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) và tính \(f'\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) thì nó liên tục tại điểm đó ( suy ra \(c = 0\)) và có giới hạn hữu hạn

            \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{{x^2}} \over x}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0  \cr& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right)} \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - {x^3} + bx} \over x}  \cr&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} b = b \cr} \)

Để tồn tại giới hạn hữu hạn (1) thì ta phải có

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\)

Suy ra \(b = 0\)

Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\) khi và chỉ khi \(b = c = 0\). Khi đó, ta có \(f'\left( 0 \right) = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.