Câu 2.116 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao


Giải các hệ phương trình sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các hệ phương trình sau:

LG a

\(\left\{ \matrix{{\log ^2}x = {\log ^2}y + {\log ^2}xy \hfill \cr{\log ^2}\left( {x - y} \right) + \log x\log y = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x > 0,y > 0,x > y\)

Biến đổi phương trình đầu như sau:

\(\eqalign{& {\log ^2}x = {\log ^2}y + {\left( {\log x + \log y} \right)^2} \cr&\Leftrightarrow 2{\log ^2}y + 2\log x\log y = 0  \cr&  \Leftrightarrow \log y\left( {\log x + \log y} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{\log y = 0 \hfill \cr\log x + \log y = 0 \hfill \cr}  \right.\left[ \matrix{ y = 1 \hfill \cr y = {1 \over x} \hfill \cr}  \right. \cr} \)

- Với \(y = 1\), thế vào phương trình thứ hai ta được

\({\log ^2}\left( {x - 1} \right) + \log x\log 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\)

- Với \(y = {1 \over x}\),  thế vào phương trình thứ hai ta được

 \(\eqalign{& {\log ^2}\left( {x - {1 \over x}} \right) + \log x\log {1 \over x} = 0 \cr&\Leftrightarrow{\log ^2}{{{x^2} - 1} \over x} - {\log ^2}x = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{log{{{x^2} - 1} \over x} = \log x \hfill \cr log{{{x^2} - 1} \over x} =  - \log x \hfill \cr}  \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x^2} - 1 = {x^2}\left( {loại} \right) \hfill \cr {{{x^2} - 1} \over x} = {1 \over x} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow {x^2} = 2 \cr} \)

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \(x = \sqrt 2 ;y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2;1} \right),\left( {\sqrt 2 ;{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)

LG b

\(\left\{ \matrix{{3^{\log x}} = {4^{\log y}} \hfill \cr{\left( {4x} \right)^{\log 4}} = {\left( {3y} \right)^{\log 3}} \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết:

Lôgarit có số 10 của hai vế phương trình trong hệ ta được

\(\left\{ \matrix{\log x\log 3 = \log y\log 4 \hfill \cr\log 4\left( {\log 4 + \log x} \right) = \log 3\left( {\log 3 + \log y} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Rồi đặt \(u = \log x,v = \log y\)

Tìm u, v giải ra x, y ta được:

\(\left( {x;y} \right) = \left( {{1 \over 4};{1 \over 3}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD