Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượn..

Bài 1.66 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.66 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm thuộc khoảng...

Đề bài

Tìm các nghiệm thuộc khoảng\(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình

\({{\sqrt {1 + \cos x}  + \sqrt {1 - \cos x} } \over {\cos x}} = 4\sin x\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện xác định của phương trình \(\cos x \ne 0.\)

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(\sqrt 2 \left( {\left| {\cos {x \over 2}} \right| + \left| {\sin {x \over 2}} \right|} \right) = 2\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Do \(x = \pi \) không là nghiệm của (1) nên ta chỉ cần xét hai khả năng sau:

1) \(x \in \left( {0;\pi } \right).\) Lúc này \(0 < {x \over 2} < {\pi  \over 2},\) kéo theo \(\cos {x \over 2} > 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\).

Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x \)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr 
x = {{3\pi } \over {10}} + {{4l\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Để tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right),\) ta cần tìm k và l nguyên sao cho

\( \bullet \,\,0 < {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < \pi  \) \(\Leftrightarrow  - {1 \over 8} < k < {5 \over 8} \Leftrightarrow k = 0.\) Ta nhận \(x = {\pi  \over 6}\)

\( \bullet \,\,0 < {{3\pi } \over {10}} + l{{4\pi } \over 5} < \pi \) \( \Leftrightarrow  - {3 \over 8} < l < {7 \over 8} \Leftrightarrow l = 0.\) Ta nhận \(x = {{3\pi } \over {10}}\)

2) \(x \in \left( {\pi ;2\pi } \right).\) Lúc này \({\pi  \over 2} < {x \over 2} < \pi ,\) kéo theo \(\cos {x \over 2} < 0\) và  \(\sin {x \over 2} > 0\). Do đó (1) trở thành

\({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr 
x = {\pi \over 2} + l{{4\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Tương tự trên, ta có

\( \bullet \,\,\pi  <  - {\pi  \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < 2\pi \) \( \Leftrightarrow {7 \over 8} < k < {{13} \over 8} \Leftrightarrow k = 1.\)

Ta nhận được \(x =  - {\pi  \over 6} + {{4\pi } \over 3} = {{7\pi } \over 6}\)

\( \bullet \,\,\pi  < {\pi  \over 2} + l{{4\pi } \over 5} < 2\pi  \) \(\Leftrightarrow {5 \over 8} < l < {{15} \over 8} \Leftrightarrow l = 1.\)

Ta nhận được \(x = {\pi  \over 2} + {{4\pi } \over 5} = {{13\pi } \over {10}}\)

Kết luận: Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(x = {\pi  \over 6},x = {{3\pi } \over {10}},x = {7 \pi \over 6}\) và \(x = {{13\pi } \over {10}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store